ملخص حركة المقذوفات بزاوية — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الفيزياء
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل الأول: الميكانيكا (القوى والحركة)

في الإعادة البطيئة لضربة حرة، تبدو الكرة كأنها «تتوقف» لحظة عند أعلى نقطة ثم تهبط نحو المرمى. هل الكرة ساكنة فعلًا عند القمة؟ في الدرس السابق حللنا المقذوف الأفقي، وهنا نعمم الفكرة على جسم يُطلق بزاوية مع الأفقي، وسنكتشف أن الكرة لا تسكن أبدًا أثناء طيرانها.

أهداف التعلم

أن تحلل السرعة الابتدائية لمقذوف بزاوية إلى مركبتين وتعامل كل منهما حركةً مستقلة.
أن تصف سرعة المقذوف وعجلته عند أقصى ارتفاع.
أن تحسب زمن الصعود وزمن الطيران وأقصى ارتفاع والمدى الأفقي.
أن تستخدم تماثل المسار في حل المسائل وتذكر شروطه.

شرح الدرس

تحليل السرعة الابتدائية

إذا أُطلق جسم بسرعة $v_0$ تصنع زاوية $\theta$ فوق الأفقي، نحلل سرعته إلى:

v_{0x} = v_0\cos\theta \qquad v_{0y} = v_0\sin\theta

أفقيًّا: لا توجد عجلة (بإهمال مقاومة الهواء)، فتبقى $v_x = v_0\cos\theta$ ثابتة، و $x = v_0\cos\theta \times t$ .
رأسيًّا: يتحرك الجسم كجسم مقذوف رأسيًّا لأعلى، بسرعة ابتدائية $v_0\sin\theta$ وعجلة $-g$ (باعتبار الاتجاه لأعلى موجبًا):

\begin{gathered} v_y = v_0\sin\theta - g\,t \\ y = v_0\sin\theta \times t - \frac{1}{2}g\,t^{2} \end{gathered}

الحركتان مستقلتان ولا يربطهما إلا الزمن $t$ ، ويكون المسار قطعًا مكافئًا.

مسار منحنٍ على شكل قطع مكافئ لمقذوف أُطلق بزاوية ثيتا؛ عند كل نقطة سهم أخضر أفقي ثابت الطول وسهم أحمر رأسي يقصر أثناء الصعود ويختفي عند القمة ثم يتجه لأسفل ويطول أثناء الهبوط، مع بيان أقصى ارتفاع H والمدى الأفقي

ماذا يحدث عند القمة؟

عند أقصى ارتفاع تنعدم المركبة الرأسية فقط ( $v_y = 0$ )، بينما تبقى المركبة الأفقية $v_0\cos\theta$ كما هي. إذن الكرة لا تسكن؛ سرعتها عند القمة أصغر ما يمكن وتساوي $v_0\cos\theta$ . والعجلة عند القمة ما زالت $g$ لأسفل، لأن الجاذبية لا تتوقف عن التأثير.

العلاقات الأساسية

من شرط $v_y = 0$ عند القمة نحصل على زمن الصعود:

t_{\text{top}} = \frac{v_0\sin\theta}{g}

وبالتعويض في معادلة الإزاحة الرأسية نحصل على أقصى ارتفاع:

H = \frac{(v_0\sin\theta)^{2}}{2g}

التماثل حول القمة

إذا عاد الجسم إلى مستوى الإطلاق نفسه مع إهمال مقاومة الهواء، يكون المسار متماثلًا حول الخط الرأسي المار بالقمة: زمن الصعود = زمن الهبوط، فيكون زمن الطيران $T = 2\,t_{\text{top}}$ ، والمسافة الأفقية حتى القمة نصف المدى:

R = v_0\cos\theta \times T

ويصل الجسم إلى مستوى الإطلاق بالسرعة نفسها التي انطلق بها، لكن مركبتها الرأسية معكوسة الاتجاه.

أمثلة وتطبيقات

نستخدم $g = 9.8$ م/ث².

مثال 1: رُكلت كرة من سطح الأرض بسرعة 24.5 م/ث بزاوية 53° مع الأفقي (خذ $\sin 53^\circ \approx 0.8$ و $\cos 53^\circ \approx 0.6$ ).

المركبتان: $v_{0x} = 24.5 \times 0.6 = 14.7$ م/ث و $v_{0y} = 24.5 \times 0.8 = 19.6$ م/ث.
زمن الصعود: $t_{\text{top}} = \frac{19.6}{9.8} = 2$ ث، وزمن الطيران $T = 4$ ث.
أقصى ارتفاع: $H = \frac{19.6^{2}}{2 \times 9.8} = 19.6$ م.
المدى الأفقي: $R = 14.7 \times 4 = 58.8$ م.
السرعة عند القمة: 14.7 م/ث أفقيًّا (ليست صفرًا).

تحقق من المعقولية: زمن الصعود يساوي $v_{0y}/g$ ، والمدى أكبر بكثير من الارتفاع لأن الزاوية ليست كبيرة جدًّا.

مثال 2 (استخدام التماثل): مقذوف وصل إلى القمة بعد 1.5 ث وكانت إزاحته الأفقية حينها 12 م. بما أنه يعود إلى مستوى الإطلاق نفسه، فزمن الطيران 3 ث والمدى 24 م، وسرعته الأفقية $12 \div 1.5 = 8$ م/ث.

مثال 3 (سرعة في لحظة ما): في المثال 1، بعد 3 ث: $v_x = 14.7$ م/ث و $v_y = 19.6 - 9.8 \times 3 = -9.8$ م/ث (الإشارة السالبة تعني أن الكرة تهبط). مقدار السرعة $\sqrt{14.7^{2} + 9.8^{2}} \approx 17.7$ م/ث.

ملاحظات مهمة

الخطأ الشائع: «السرعة عند القمة صفر». الصحيح أن المركبة الرأسية وحدها صفر.
التماثل وقانون $T = 2\,t_{\text{top}}$ صحيحان فقط عندما يكون مستوى الهبوط هو مستوى الإطلاق نفسه ومع إهمال مقاومة الهواء. في الواقع تجعل مقاومة الهواء المسار غير متماثل ويكون الهبوط أشد انحدارًا.
عند التعويض راقب الإشارات: اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا (لأعلى مثلًا) والتزم به في كل المعادلات الرأسية.
يمكن الوصول إلى الصيغة $R = \frac{v_0^{2}\sin 2\theta}{g}$ بالتعويض عن $T$ ؛ ومنها يتبين أن أكبر مدى على أرض مستوية يكون عند 45°، وأن الزاويتين المتتامتين (مثل 30° و60°) تعطيان المدى نفسه.

المفاهيم الأساسية

$v_x = v_0\cos\theta$ ثابتة، و $v_y = v_0\sin\theta - g\,t$ .
عند القمة: $v_y = 0$ ، والسرعة $= v_0\cos\theta$ ، والعجلة $= g$ لأسفل.
$t_{\text{top}} = \frac{v_0\sin\theta}{g}$ و $H = \frac{(v_0\sin\theta)^{2}}{2g}$ .
على مستوى واحد: $T = 2\,t_{\text{top}}$ و $R = v_0\cos\theta \times T$ .

ملخص الدرس

المقذوف بزاوية يجمع حركة أفقية منتظمة بسرعة $v_0\cos\theta$ وحركة رأسية كالقذف لأعلى بسرعة ابتدائية $v_0\sin\theta$ وعجلة $g$ لأسفل. عند القمة تنعدم المركبة الرأسية فقط، فالجسم لا يسكن. وعند العودة إلى مستوى الإطلاق يكون المسار متماثلًا، فزمن الطيران ضعف زمن الصعود، والمدى حاصل ضرب السرعة الأفقية في زمن الطيران.

أسئلة للتدريب

قُذفت كرة بسرعة 19.6 م/ث بزاوية 30° مع الأفقي. احسب زمن الصعود وزمن الطيران والمدى الأفقي (خذ $\cos 30^\circ \approx 0.87$ ).
ما مقدار سرعة الكرة في السؤال 1 عند أقصى ارتفاع؟ وما مقدار عجلتها واتجاهها هناك؟
قُذف جسم بسرعة 9.8 م/ث بزاوية 60°. احسب زمن وصوله إلى القمة وأقصى ارتفاع ( $\sin 60^\circ \approx 0.87$ ).
لماذا لا يصح استخدام $T = 2\,t_{\text{top}}$ لجسم قُذف بزاوية من فوق جرف وهبط أسفل منه؟
اشرح لماذا تبقى المسافة الأفقية بين أي صورتين متتاليتين للكرة في تصوير بطيء منتظم ثابتة، بينما تتغير المسافة الرأسية.