ملخص اتزان القوى — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الفيزياء
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل الأول: الميكانيكا (القوى والحركة)

كتاب ثقيل ساكن على منضدة، ولافتة محل معلقة بسلسلتين إحداهما شديدة الانحدار والأخرى قريبة من الأفقي. الوزن يشد كلًّا منهما لأسفل، ومع ذلك يبقى ساكنًا. ما الذي يوازن الوزن؟ ولماذا تتحمل إحدى السلسلتين شدًّا أكبر من الأخرى؟ هذا ما يجيب عنه شرط الاتزان.

أهداف التعلم

أن تذكر شرط الاتزان لجسم ساكن أو متحرك بسرعة ثابتة.
أن ترسم مخطط الجسم الحر لجسم، وتحدد مصدر كل قوة واتجاهها.
أن تحلل القوى المائلة على محورين متعامدين وتطبق شرط الاتزان على كل محور لإيجاد قوة مجهولة.
أن تفسر لماذا يزداد الشد كلما اقترب الكبل من الأفقي.

شرح الدرس

مخطط الجسم الحر

لتحليل جسم نعزله أولًا عن محيطه، ونرسم القوى الخارجية المؤثرة فيه فقط، لا القوى التي يؤثر بها هو في غيره. نرسم كل قوة سهمًا في اتجاهها ونسميها بمصدرها. هذا الرسم يسمى مخطط الجسم الحر. وأشهر القوى:

القوة	الرمز	مصدرها واتجاهها
الوزن	$F_g = mg$	جاذبية الأرض، رأسيًّا لأسفل ويؤثر في مركز الثقل
القوة العمودية	$F_N$	سطح التلامس، عمودية على السطح؛ لجسم ساكن على سطح أفقي دون قوى رأسية أخرى $F_N = mg$
الشد	$T$	حبل أو كبل مشدود، على امتداد الحبل مبتعدة عن الجسم
القوة المرونية	$F_e = -kx$	زنبرك مشدود أو مضغوط، عكس اتجاه الإزاحة عن موضع الاتزان (في حدود التناسب)

شرط الاتزان

يكون الجسم في اتزان انتقالي إذا بقي ساكنًا أو تحرك بسرعة ثابتة (مقدارًا واتجاهًا)، أي إذا كانت محصلة القوى المؤثرة فيه صفرًا:

\sum \vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \cdots = 0

وعمليًّا نحلل كل قوة مائلة إلى مركبتين على محورين متعامدين، ونطبق الشرط على كل محور مستقلًّا:

\sum F_x = 0 \qquad \sum F_y = 0

لاحظ أن «السرعة الثابتة» اتزان أيضًا: سيارة تسير بسرعة ثابتة في طريق مستقيم محصلة القوى عليها صفر، مثل الكتاب الساكن تمامًا.

مصباح معلق بكبلين يصنعان زاويتين مختلفتين مع السقف؛ سهمان أزرقان للشدين على امتداد الكبلين، وسهم أحمر للوزن لأسفل، وخطوط خضراء للمركبتين الأفقيتين المتساويتين المتعاكستين، مع معادلتي الاتزان الأفقية والرأسية

الجسم المعلق بكبلين

لجسم وزنه $W$ معلق بكبلين يصنعان زاويتين $\theta_1$ و $\theta_2$ مع الأفقي:

أفقيًّا: المركبتان الأفقيتان متساويتان ومتعاكستان فتلغي إحداهما الأخرى: $T_1\cos\theta_1 = T_2\cos\theta_2$ .
رأسيًّا: المركبتان الرأسيتان معًا تحملان الوزن: $T_1\sin\theta_1 + T_2\sin\theta_2 = W$ .

إذا كانت الزاويتان متساويتين يكون $T_1 = T_2 = T$ و $2T\sin\theta = W$ . وكلما صغرت الزاوية مع الأفقي صغر $\sin\theta$ فزاد الشد اللازم لحمل الوزن نفسه.

أمثلة وتطبيقات

نستخدم $g = 9.8$ م/ث².

مثال 1 (زاويتان متساويتان): مصباح كتلته 4.0 كجم معلق بكبلين متماثلين يصنع كل منهما 45° مع الأفقي. الوزن $W = 4.0 \times 9.8 = 39.2$ نيوتن، ومن الاتزان الرأسي $2T\sin 45^\circ = 39.2$ ، فيكون $T = \frac{39.2}{2 \times 0.707} \approx 27.7$ نيوتن.

مثال 2 (زاويتان مختلفتان): لافتة كتلتها 10 كجم ( $W = 98$ نيوتن) معلقة بكبلين يصنعان 30° و60° مع الأفقي.

أفقيًّا: $T_1\cos 30^\circ = T_2\cos 60^\circ$ ، أي $0.866\,T_1 = 0.5\,T_2$ ، ومنها $T_2 \approx 1.73\,T_1$ .
رأسيًّا: $T_1\sin 30^\circ + T_2\sin 60^\circ = 98$ ، أي $0.5\,T_1 + 1.73 \times 0.866\,T_1 = 98$ ، فيكون $2\,T_1 \approx 98$ .
إذن $T_1 \approx 49$ نيوتن و $T_2 \approx 85$ نيوتن؛ والكبل الأشد انحدارًا (60°) يحمل الشد الأكبر.

مثال 3 (زنبرك): ثقل معلق ساكنًا في زنبرك ثابته 250 نيوتن/م فاستطال 0.08 م. القوة المرونية لأعلى تساوي الوزن: $W = kx = 250 \times 0.08 = 20$ نيوتن.

مثال 4 (القوة العمودية): كتاب كتلته 1.5 كجم ساكن على منضدة أفقية. القوى الرأسية: الوزن $14.7$ نيوتن لأسفل والقوة العمودية لأعلى، ومن الاتزان $F_N = 14.7$ نيوتن.

ملاحظات مهمة

ارسم مخطط الجسم الحر قبل كتابة أي معادلة، وتأكد أنك رسمت القوى المؤثرة في الجسم فقط.
الشد لا يساوي الوزن بالضرورة؛ ففي المثال 1 كل كبل يشد بنحو 27.7 نيوتن رغم أن كبلين يحملان وزنًا 39.2 نيوتن، لأن جزءًا فقط من كل شد يعمل رأسيًّا.
القوة العمودية تساوي الوزن فقط لجسم على سطح أفقي لا تؤثر فيه قوى رأسية أخرى؛ لا تعممها.
لهذا تُترك أسلاك الكهرباء بين الأعمدة مرتخية قليلًا: لو شُدّت أفقية تمامًا لاحتاجت إلى شد هائل كي تحمل وزنها، لأن المركبة الرأسية للشد تقترب من الصفر.

المفاهيم الأساسية

الاتزان الانتقالي: الجسم ساكن أو يتحرك بسرعة ثابتة، و $\sum \vec{F} = 0$ .
بالمركبات: $\sum F_x = 0$ و $\sum F_y = 0$ .
مخطط الجسم الحر يُظهر القوى الخارجية المؤثرة في الجسم ومصدر كل منها.
الوزن $mg$ لأسفل، والقوة العمودية عمودية على السطح، والشد على امتداد الحبل، والقوة المرونية $-kx$ .
لجسم معلق بكبلين متماثلين: $2T\sin\theta = W$ ؛ وكلما صغرت الزاوية مع الأفقي زاد الشد.

ملخص الدرس

الجسم المتزن ساكن أو يتحرك بسرعة ثابتة لأن محصلة القوى المؤثرة فيه صفر. نحلل الاتزان برسم مخطط الجسم الحر، ثم نحلل كل قوة مائلة إلى مركبتين ونطبق شرط الاتزان على كل محور. في الجسم المعلق بكبلين تتلاشى المركبتان الأفقيتان، وتحمل المركبتان الرأسيتان الوزن، والكبل الأقرب إلى الرأسي يحمل الشد الأكبر.

أسئلة للتدريب

ارسم مخطط الجسم الحر لكتاب ساكن على منضدة أفقية، ثم لمصباح معلق بكبل واحد رأسي.
مصباح كتلته 6.0 كجم معلق بكبلين يصنع كل منهما 30° مع الأفقي. احسب الشد في كل كبل.
أعد السؤال 2 إذا صنع كل كبل 50° مع الأفقي، وقارن النتيجتين ( $\sin 50^\circ \approx 0.77$ ).
ثقل معلق ساكنًا في زنبرك ثابته 200 نيوتن/م فاستطال 0.15 م. احسب وزن الثقل.
هل السيارة التي تسير بسرعة ثابتة 90 كم/س في طريق مستقيم متزنة؟ فسّر.