ملخص كمية التحرك والطاقة الميكانيكية — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الفيزياء
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل الأول: الميكانيكا (القوى والحركة)

عربة معمل متحركة تصطدم بعربة ساكنة، فتلتصقان بواسطة وسادة لاصقة وتتحركان معًا بسرعة أقل. تسمع صوتًا قصيرًا لحظة التصادم، وقد تنضغط الوسادة قليلًا. عرفنا في الدرس السابق أن كمية التحرك الكلية لم تتغير؛ فلماذا قلت الطاقة الحركية الكلية؟ وأين ذهبت؟ هذا ما نجيب عنه هنا.

أهداف التعلم

أن تحسب الطاقة الحركية لجسم وللنظام قبل التصادم وبعده.
أن تذكر متى تُحفظ كمية التحرك، وتميز بين التصادم المرن وغير المرن.
أن تستخدم معامل الارتداد مع حفظ كمية التحرك لحساب السرعات بعد التصادم.
أن تحسب النقص في الطاقة الحركية وتفسر تحوله إلى صور أخرى من الطاقة.

شرح الدرس

الطاقة الحركية والطاقة الميكانيكية

الجسم الذي كتلته $m$ ويتحرك بسرعة $v$ له طاقة حركية:

E_k = \frac{1}{2}m v^{2}

وهي كمية قياسية موجبة دائمًا ووحدتها الجول. والطاقة الميكانيكية لنظام هي مجموع طاقتيه الحركية والوضع. في تصادم عربتين على مسار أفقي لا تتغير طاقة الوضع، فأي نقص في الطاقة الحركية الكلية هو نقص في الطاقة الميكانيكية.

ما الذي يُحفظ؟

كمية التحرك الكلية تُحفظ في كل تصادم لنظام معزول، مرنًا كان أو غير مرن.
الطاقة الحركية الكلية لا تُحفظ إلا في التصادم المرن تمامًا. في غيره يتحول جزء منها إلى طاقة داخلية مرتبطة بتشوه الجسمين واهتزاز جزيئاتهما (فيسخنان قليلًا) وإلى صوت. الطاقة لا تفنى، لكنها تتحول إلى صور غير ميكانيكية.

معامل الارتداد

معامل الارتداد $e$ هو النسبة بين مقدار السرعة النسبية للجسمين بعد التصادم ومقدارها قبله، ويعتمد على مادتي الجسمين. في التصادم المباشر على خط واحد:

v_1' - v_2' = -e\,(v_1 - v_2)

وفي التصادمات العادية (غير الانفجارية) تكون السرعة النسبية بعد التصادم أقل من أو تساوي قبله، فيكون $0 \le e \le 1$ :

قيمة $e$	نوع التصادم	الطاقة الميكانيكية
$e = 1$	مرن تمامًا	محفوظة
$0 \le e < 1$	غير مرن	تقل
$e = 0$	غير مرن تمامًا (يلتحم الجسمان ويتحركان جسمًا واحدًا)	تقل بأكبر قدر ممكن

أعمدة للطاقة الحركية: قبل التصادم 9 جول، وبعد تصادم مرن تمامًا 9 جول دون فقد، وبعد تصادم غير مرن معامل ارتداده 0.5 تصبح 6.75 جول بفقد 2.25 جول، وبعد تصادم غير مرن تمامًا تصبح 6 جول بفقد 3 جول

طريقة الحل

لإيجاد سرعتين مجهولتين بعد تصادم مباشر نكتب معادلتين: حفظ كمية التحرك ومعادلة معامل الارتداد، ثم نحلهما معًا. وبعدها نحسب الطاقة الحركية الكلية قبل وبعد؛ والفرق هو الطاقة الميكانيكية المفقودة.

أمثلة وتطبيقات

في كل الأمثلة: العربة A كتلتها 2 كجم تتحرك بسرعة 3 م/ث نحو اليمين (موجب)، والعربة B كتلتها 1 كجم ساكنة. الطاقة الحركية قبل التصادم $\frac{1}{2}(2)(3)^{2} = 9$ جول، وكمية التحرك $6$ كجم·م/ث.

مثال 1 (غير مرن، $e = 0.5$ ):

حفظ كمية التحرك: $2 v_A' + v_B' = 6$ .
معامل الارتداد: $v_A' - v_B' = -0.5(3 - 0) = -1.5$ ، أي $v_B' = v_A' + 1.5$ .
بالتعويض: $3 v_A' + 1.5 = 6$ ، فتكون $v_A' = 1.5$ م/ث و $v_B' = 3$ م/ث.
الطاقة بعد: $\frac{1}{2}(2)(1.5)^{2} + \frac{1}{2}(1)(3)^{2} = 2.25 + 4.5 = 6.75$ جول، والمفقود $9 - 6.75 = 2.25$ جول.

مثال 2 (غير مرن تمامًا، $e = 0$ ): يلتحمان: $6 = 3\,v'$ ، فتكون $v' = 2$ م/ث، والطاقة بعد $\frac{1}{2}(3)(2)^{2} = 6$ جول، والمفقود 3 جول، أي ثلث الطاقة الأصلية.

مثال 3 (مرن تمامًا، $e = 1$ ): $2 v_A' + v_B' = 6$ و $v_B' - v_A' = 3$ ، فتكون $v_A' = 1$ م/ث و $v_B' = 4$ م/ث. الطاقة بعد $\frac{1}{2}(2)(1)^{2} + \frac{1}{2}(1)(4)^{2} = 1 + 8 = 9$ جول، فلا فقد.

تحقق من المعقولية: في الحالات الثلاث بقيت كمية التحرك 6 كجم·م/ث، ولم تزد الطاقة الحركية بعد التصادم عنها قبله، والفقد يكبر كلما صغر $e$ .

ملاحظات مهمة

كمية التحرك متجهة فتُجمع بالإشارات، أما الطاقة الحركية قياسية موجبة دائمًا فلا تُلغي طاقتان بعضهما.
في الانفجار تزداد الطاقة الحركية (من طاقة كيميائية مختزنة)، لذلك لا ينطبق عليه القيد $e \le 1$ ؛ لكن كمية التحرك تبقى محفوظة.
لا تستنتج من «فقد الطاقة الحركية» أن الطاقة فنيت؛ هي تحولت إلى طاقة داخلية وصوت.
علاقة مفيدة: $E_k = \frac{p^{2}}{2m}$ ؛ فلجسمين لهما كمية التحرك نفسها، الأخف طاقته الحركية أكبر.

المفاهيم الأساسية

$E_k = \frac{1}{2}mv^{2}$ ، والطاقة الميكانيكية = الحركية + الوضع.
كمية التحرك تُحفظ في كل تصادم لنظام معزول.
معامل الارتداد: $v_1' - v_2' = -e(v_1 - v_2)$ حيث $0 \le e \le 1$ .
$e = 1$ مرن تمامًا (الطاقة محفوظة)، $e < 1$ غير مرن (الطاقة تقل)، $e = 0$ التحام.
الطاقة المفقودة $= \sum E_{k,\text{before}} - \sum E_{k,\text{after}}$ ، وتتحول إلى طاقة داخلية وصوت.

ملخص الدرس

في كل تصادم لنظام معزول تبقى كمية التحرك الكلية ثابتة، لكن الطاقة الحركية الكلية لا تبقى ثابتة إلا في التصادم المرن تمامًا. يقيس معامل الارتداد مدى «مرونة» التصادم، ومع حفظ كمية التحرك يسمح بحساب السرعات بعده. وفي التصادم غير المرن يتحول جزء من الطاقة الحركية إلى طاقة داخلية وصوت، ويكون الفقد أكبر ما يمكن عندما يلتحم الجسمان.

أسئلة للتدريب

احسب الطاقة الحركية لعربة كتلتها 2 كجم تتحرك بسرعة 4 م/ث.
كرة كتلتها 5 كجم تتحرك بسرعة 4 م/ث تصطدم بكرة ساكنة كتلتها 3 كجم وتلتحمان. أوجد السرعة المشتركة والطاقة الحركية المفقودة.
كرة كتلتها 1 كجم تتحرك بسرعة 6 م/ث تصطدم مباشرة بكرة ساكنة كتلتها 2 كجم، ومعامل الارتداد 0.5. أوجد سرعتي الكرتين بعد التصادم.
لماذا تُحفظ كمية التحرك في التصادم الالتحامي رغم عدم حفظ الطاقة الحركية؟
أين تذهب الطاقة الحركية المفقودة عند اصطدام سيارتين وتشوههما؟