أسئلة: كمية التحرك والطاقة الميكانيكية

الإجابة الصحيحة: $E_k = \frac{p^2}{2m}$

باستخدام تعويض السرعة $v = \frac{p}{m}$ في قانون الطاقة الحركية $E_k = \frac{1}{2}mv^2$ نجد أن $E_k = \frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^2 = \frac{p^2}{2m}$.

الإجابة الصحيحة: $E_{kA} = 2 E_{kB}$

الطاقة الحركية تتناسب عكسيًا مع الكتلة عند ثبات كمية التحرك ($E_k \propto \frac{1}{m}$). بما أن كتلة A نصف كتلة B، فإن طاقته الحركية تكون ضعف طاقة B.

الإجابة الصحيحة: $25 \text{ جول}$

من العلاقة $E_k = \frac{p^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 2} = \frac{100}{4} = 25 \text{ جول}$.

الإجابة الصحيحة: كمية التحرك الكلية محفوظة والطاقة الحركية الكلية غير محفوظة

كمية التحرك تُحفظ دائمًا في الأنظمة المعزولة بغض النظر عن نوع التصادم، بينما تُفقد الطاقة الحركية جزئيًا (تتحول لحرارة وصوت وتشوّه) في التصادمات غير المرنة.

الإجابة الصحيحة: كمية تحرك أكبر

من العلاقة $p = \sqrt{2mE_k}$، عند ثبات الطاقة الحركية $E_k$ تتناسب كمية التحرك طرديًا مع الجذر التربيعي للكتلة، إذن الجسم الأثقل له كمية تحرك أكبر.

الإجابة الصحيحة: $12 \text{ جول}$

$E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 6 \times (2)^2 = 3 \times 4 = 12 \text{ جول}$.

الإجابة الصحيحة: $0.5$

بما أن الكتلة ثابتة، فإن $p \propto \sqrt{E_k}$. إذن النسبة هي $\sqrt{1 / 4} = \frac{1}{2} = 0.5$.

الإجابة الصحيحة: تحول جزء من الطاقة إلى حرارة وصوت وطاقة تشويه للجسمين

الطاقة الحركية لا تضيع بل تتحول لأشكال أخرى (حرارية وصوتية ومرتبطة بالتغير في شكل الأجسام) أثناء التصادمات غير المرنة.

الإجابة الصحيحة: تصبح تسعة أمثال ما كانت عليه

الطاقة الحركية تتناسب طرديًا مع مربع كمية التحرك ($E_k \propto p^2$). فإذا أصبح $p$ ثلاثة أمثال، يصبح المربع $(3p)^2 = 9p^2$، أي تزيد إلى 9 أمثال.

الإجابة الصحيحة: $8 \text{ كجم.م/ث}$

من العلاقة $p = \sqrt{2mE_k}$ وعند ثبات $E_k$، تكون $\frac{p_B}{p_A} = \sqrt{\frac{m_B}{m_A}} = \sqrt{\frac{4}{1}} = 2$. إذن $p_B = 2 \times 4 = 8 \text{ كجم.م/ث}$.

الإجابة الصحيحة: لان كمية التحرك كمية متجهة بينما الطاقة الحركية كمية قياسية

علاقة $E_k = \frac{p^2}{2m}$ مخصصة لجسم واحد فقط، ولا يجوز جمع كميات التحرك متجهاً ثم تربيعها لإيجاد الطاقة الكلية للمنظومة.

الإجابة الصحيحة: $16 \text{ جول}$

$E_k = \frac{p^2}{2m} = \frac{16^2}{2 \times 8} = \frac{256}{16} = 16 \text{ جول}$.

الإجابة الصحيحة: 1

في التصادم المرن تمامًا تكون السرعة النسبية بعد التصادم مساوية لها قبله فيكون $e = 1$، وتُحفظ الطاقة الحركية.

الإجابة الصحيحة: صفر

الالتحام يعني أن السرعة النسبية بعد التصادم صفر، فيكون $e = 0$، وهو التصادم غير المرن تمامًا الذي يُفقد فيه أكبر قدر من الطاقة الحركية.

الإجابة الصحيحة: 3 جول

السرعة المشتركة $v' = (2 \times 3)/3 = 2$ م/ث. الطاقة قبل $\frac{1}{2}(2)(3^2) = 9$ جول، وبعد $\frac{1}{2}(3)(2^2) = 6$ جول، والمفقود $9 - 6 = 3$ جول.

الإجابة الصحيحة: تبقى كمية التحرك الكلية، وتتحول بعض الطاقة الحركية إلى طاقة داخلية وصوت

كمية التحرك الكلية محفوظة في كل تصادم لنظام معزول، أما الطاقة الحركية فتقل في التصادم غير المرن لأن جزءًا منها يتحول إلى طاقة داخلية (تشوه واهتزاز) وصوت؛ الطاقة لا تفنى.

لجسم X: السرعة $v_X = \frac{p}{m_X} = \frac{20}{4} = 5 \text{ م/ث}$، والطاقة الحركية $E_{kX} = \frac{p^2}{2m_X} = \frac{20^2}{2 \times 4} = \frac{400}{8} = 50 \text{ جول}$. للجسم Y: السرعة $v_Y = \frac{p}{m_Y} = \frac{20}{16} = 1.25 \text{ م/ث}$، والطاقة الحركية $E_{kY} = \frac{p^2}{2m_Y} = \frac{20^2}{2 \times 16} = \frac{400}{32} = 12.5 \text{ جول}$. المقارنة: رغم تساويهما التام في كمية التحرك (20 كجم.م/ث)، يمتلك الجسم الأخص X طاقة حركية أكبر بأربعة أضعاف من الجسم الأثقل Y (50 جول مقابل 12.5 جول).

من حفظ كمية التحرك: $m_1 v_1 + 0 = (m_1 + m_2)v_f \Rightarrow (3 \times 8) = (3 + 9)v_f \Rightarrow 24 = 12v_f \Rightarrow v_f = 2 \text{ م/ث}$. الطاقة الحركية قبل التصادم: $E_{k,\text{قبل}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 8^2 + 0 = \frac{1}{2} \times 3 \times 64 = 96 \text{ جول}$. الطاقة الحركية بعد التصادم: $E_{k,\text{بعد}} = \frac{1}{2} \times (3 + 9) \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 24 \text{ جول}$. الطاقة المفقودة: $\Delta E_k = 96 - 24 = 72 \text{ جول}$.

1. نبدأ بتعريف كمية التحرك: $p = mv$ ومنها نستخرج السرعة بدلالة كمية التحرك والكتلة: $v = \frac{p}{m}$. 2. نكتب قانون الطاقة الحركية لجسم: $E_k = \frac{1}{2}mv^2$. 3. نعوض بقيمة السرعة $v$ في قانون الطاقة الحركية: $E_k = \frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^2$. 4. نفك التربيع ونبسط المقدار: $E_k = \frac{1}{2}m \left(\frac{p^2}{m^2}\right) = \frac{1}{2} \frac{p^2}{m} = \frac{p^2}{2m}$. وهو المطلوب.

من العلاقة الرياضية المشتقة لطاقة الحركة بدلالة كمية التحرك $E_k = \frac{p^2}{2m}$، يمكن صياغة كمية التحرك كالتالي: $p = \sqrt{2mE_k}$. للجسيمين عند تساوي طاقتيهما الحركيتين ($E_{k1} = E_{k2}$): النسبة هي $\frac{p_1}{p_2} = \frac{\sqrt{2m_1 E_{k1}}}{\sqrt{2m_2 E_{k2}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$. بالتعويض بالكتل: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} = 0.33$.

تظل كمية التحرك الكلية محفوظة لأن قوى التبادل أثناء التصادم هي قوى داخلية متبادلة بين الجسمين طبقًا لقانون نيوتن الثالث ولا توجد قوى خارجية مؤثرة على النظام المعزول، ومجموع القوى الخارجية يساوي صفرًا. أما الطاقة الحركية فلا تظل محفوظة لأن جزءًا منها يتحول بالضرورة أثناء عملية التشوه والالتحام إلى أشكال أخرى من طاقات غير ميكانيكية مثل الطاقة الحرارية والصوتية وطاقة التشويه المرنة أو الدائمة.

نستخدم العلاقة المستنتجة للطاقة الحركية وكمية التحرك: $E_k = \frac{p^2}{2m}$. نعوض بالقيم المعطاة: $250 = \frac{p^2}{2 \times 5} \Rightarrow 250 = \frac{p^2}{10} \Rightarrow p^2 = 2500$. باخذ الجذر التربيعي للطرفين: $p = \sqrt{2500} = 50 \text{ كجم.م/ث}$.

نأخذ اليمين موجبًا. (أ) حفظ كمية التحرك: $2 v_A' + v_B' = 6$. معامل الارتداد: $v_A' - v_B' = -0.5(3 - 0) = -1.5$. بالحل: $3 v_A' = 4.5$ فتكون $v_A' = 1.5$ م/ث و $v_B' = 3$ م/ث، كلتاهما نحو اليمين. (ب) الطاقة قبل $\frac{1}{2}(2)(3^2) = 9$ جول، وبعد $\frac{1}{2}(2)(1.5^2) + \frac{1}{2}(1)(3^2) = 2.25 + 4.5 = 6.75$ جول، والمفقود 2.25 جول. (ج) تحولت إلى طاقة داخلية مرتبطة بتشوه الكرتين واهتزاز جزيئاتهما (تسخين طفيف) وإلى طاقة صوتية.