أسئلة: الحركة التوافقية البسيطة

الإجابة الصحيحة: تتناسب القوة طرديًا مع الإزاحة وتكون في اتجاه معاكس لها

في الحركة التوافقية البسيطة، تعمل قوة الاستعادة وفق قانون هوك، حيث $F = -kx$، مما يعني تناسبًا طرديًا مع الإزاحة واتجاهًا معاكسًا.

الإجابة الصحيحة: $4\pi$ راديان/ث

العلاقة بين السرعة الزاوية والتردد هي $\omega = 2\pi f$، وبالتعويض $2\pi \times 2 = 4\pi$.

الإجابة الصحيحة: عندما تكون الإزاحة مساوية للسعة ($x=A$)

عند أقصى إزاحة ($x=A$)، يتوقف الجسم لحظيًا ليغير اتجاه حركته، فتكون سرعته صفرًا.

الإجابة الصحيحة: $\omega = \sqrt{a_{max}/A}$

بما أن $a_{max} = A\omega^2$، فإن $\omega^2 = a_{max}/A$، ومنها $\omega = \sqrt{a_{max}/A}$.

الإجابة الصحيحة: 1.0 م/ث

$v_{max} = A\omega = 0.2 \times 5 = 1.0$ م/ث.

الإجابة الصحيحة: يقل للنصف

الزمن الدوري هو مقلوب التردد $T = 1/f$، لذا العلاقة عكسية.

الإجابة الصحيحة: $a = -\omega^2 x$

هذه هي المعادلة الأساسية للحركة التوافقية البسيطة حيث التسارع يتناسب عكسيًا مع الإزاحة.

الإجابة الصحيحة: 2 م/ث$^2$

$a_{max} = A\omega^2 = 0.5 \times (2)^2 = 0.5 \times 4 = 2$ م/ث$^2$.

الإجابة الصحيحة: نقطة أقصى إزاحة ($x=A$)

القوة تتناسب طرديًا مع الإزاحة، لذا تكون عظمى عند أقصى إزاحة.

الإجابة الصحيحة: عند $t=\pi/(2\omega)$

تكون $\sin(\omega t) = 1$ عندما تكون الزاوية $\pi/2$، أي $\omega t = \pi/2$ ومنها $t = \pi/(2\omega)$.

الإجابة الصحيحة: راديان/ثانية

السرعة الزاوية تقيس معدل تغير الزاوية بالنسبة للزمن.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{3}v_{max}/2$

$v = \omega\sqrt{A^2 - (A/2)^2} = \omega\sqrt{A^2 - A^2/4} = \omega\sqrt{3A^2/4} = \omega A \sqrt{3}/2 = v_{max}\sqrt{3}/2$.

الإجابة الصحيحة: 0.63 ث

$\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{50/0.50} = 10$ راديان/ث، و $T = 2\pi/\omega \approx 0.63$ ث. الرقم 10 هو التردد الزاوي لا الزمن الدوري.

الإجابة الصحيحة: 0.06 م و 8 راديان/ث

في الصورة $x = A\sin\omega t$ يكون معامل الجيب هو السعة (0.06 م)، ومعامل $t$ هو التردد الزاوي (8 راديان/ث).

الإجابة الصحيحة: $F = -4x$

شرط الحركة التوافقية البسيطة أن تتناسب القوة طرديًّا مع الإزاحة وتكون عكسها: $F = -kx$. القوة $+4x$ تبعد الجسم عن الاتزان، و $-4x^2$ لا تتناسب مع الإزاحة، و $-4$ قوة ثابتة.

الإجابة الصحيحة: السرعة أكبر ما يمكن والعجلة صفرًا

عند موضع الاتزان $x = 0$ فتكون $a = -\omega^2 x = 0$، وتكون الطاقة كلها حركية فالسرعة أكبر ما يمكن. السرعة والعجلة لا تنعدمان في اللحظة نفسها أبدًا.

من العلاقة $a = -\omega^2 x$: عند وضع الاتزان $x=0$، بالتعويض نجد $a = -\omega^2(0) = 0$. وعند أقصى إزاحة $x=A$ (أو $-A$)، يكون $a = -\omega^2 A$ (أو $\omega^2 A$)، ومقدار التسارع يكون $|a_{max}| = \omega^2 A$.

الزمن الدوري $T = 1/f = 1/10 = 0.1$ ثانية. السرعة الزاوية $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 10 = 20\pi \approx 62.8$ راديان/ثانية. التسارع الأعظم $a_{max} = A\omega^2 = 0.04 \times (20\pi)^2 = 0.04 \times 400\pi^2 = 16\pi^2 \approx 157.9$ م/ث$^2$.

الحركة الدورية هي حركة يعيد فيها الجسم نفس المسار بانتظام في فترات زمنية متساوية (مثل دوران الأرض حول الشمس). الحركة الاهتزازية هي نوع خاص من الحركة الدورية يتحرك فيها الجسم ذهابًا وإيابًا حول وضع اتزان ثابت (مثل البندول البسيط).

نستخدم العلاقة $v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$. بالتعويض: $v = 2\sqrt{(0.2)^2 - (0.1)^2} = 2\sqrt{0.04 - 0.01} = 2\sqrt{0.03} \approx 2 \times 0.1732 = 0.3464$ م/ث.

الإشارة السالبة تعبر عن أن اتجاه التسارع يكون دائمًا في عكس اتجاه الإزاحة. فيزيائيًا، هذا يعني أن القوة المؤثرة على الجسم تعمل دائمًا على إرجاعه نحو وضع الاتزان، وهو الشرط الأساسي للحركة التوافقية البسيطة.

بما أن $a_{max} = A\omega^2$ و $\omega = 2\pi f$، فإن $a_{max} = A(2\pi f)^2 = 4\pi^2 A f^2$. إذا تضاعف التردد ($f' = 2f$)، فإن التسارع الأعظم يصبح $a'_{max} = 4\pi^2 A (2f)^2 = 4 \times (4\pi^2 A f^2) = 4 a_{max}$. إذن التسارع الأعظم للجسم الثاني يساوي أربعة أمثال التسارع الأعظم للجسم الأول.