ملخص الحركة التوافقية البسيطة — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الفيزياء
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل الثاني: الحركة الاهتزازية والموجات

ثبّت مسطرة معدنية على حافة مكتب بكتاب بحيث يبرز معظمها خارج الحافة، ثم اضغط طرفها الحر واتركه: تهتز المسطرة لأعلى ولأسفل وتصدر نغمة ثابتة. قصّر الجزء البارز وأعد التجربة فترتفع النغمة. المسطرة من المادة نفسها، ولم يتغير إلا طولها الحر. ما الذي يحدد تردد هذا الاهتزاز؟ نبدأ في هذا الفصل دراسة الحركة التي تتكرر، وأبسط نموذج لها: الحركة التوافقية البسيطة.

أهداف التعلم

أن تتعرف الحركة التوافقية البسيطة من شرطها: قوة رادة تتناسب مع الإزاحة وتتجه نحو موضع الاتزان.
أن تعرّف السعة والزمن الدوري والتردد والتردد الزاوي وتربط بينها.
أن تحسب الزمن الدوري من قوة الإرجاع $F = -kx$ باستخدام $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ .
أن تقرأ السعة والتردد الزاوي من معادلة الإزاحة $x = A\sin\omega t$ .

شرح الدرس

القوة الرادة وشرط الحركة التوافقية

القوة الرادة قوة تتجه دائمًا نحو موضع الاتزان. في أنظمة كثيرة، وللإزاحات الصغيرة، تتناسب هذه القوة مع الإزاحة:

F = -kx

حيث $x$ الإزاحة عن موضع الاتزان و $k$ ثابت (ثابت القوة أو الزنبرك)، والإشارة السالبة تعني أن القوة عكس الإزاحة. ويتحرك الجسم حركة توافقية بسيطة إذا كانت عجلته تتناسب طرديًّا مع إزاحته عن موضع الاتزان وتتجه نحوه:

a = -\omega^{2} x

مصطلحات الحركة

موضع الاتزان (مركز الاهتزاز): الموضع الذي تنعدم عنده القوة الرادة.
السعة $A$ : أقصى إزاحة عن موضع الاتزان.
الزمن الدوري $T$ : زمن اهتزازة كاملة، والتردد $f = \frac{1}{T}$ عدد الاهتزازات في الثانية (هرتز).
التردد الزاوي $\omega$ : يصف سرعة تكرار الاهتزاز، بوحدة راديان/ثانية:

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f \qquad T = \frac{2\pi}{\omega}

يمكن تخيل الحركة التوافقية مسقطًا لنقطة تدور بانتظام على دائرة؛ فالتردد الزاوي هو معدل دوران هذه النقطة المرجعية.

من القوة إلى الزمن الدوري

بتطبيق قانون نيوتن الثاني على كتلة $m$ تؤثر فيها قوة رادة $F = -kx$ : $ma = -kx$ ، أي $a = -\frac{k}{m}x$ . بالمقارنة مع $a = -\omega^{2}x$ نجد $\omega^{2} = \frac{k}{m}$ ، فيكون:

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

فالكتلة الأكبر تبطئ الاهتزاز، والثابت الأكبر (الجسم الأكثر صلابة، مثل المسطرة الأقصر) يسرّعه ويرفع التردد.

من معادلة الإزاحة إلى الزمن الدوري

قد تُعطى الحركة مباشرة في صورة معادلة، مثل جسم يمر بموضع الاتزان عند $t = 0$ بأقصى سرعة:

x = A\sin\omega t

معامل الجيب هو السعة $A$ ، ومعامل $t$ داخل الجيب هو التردد الزاوي $\omega$ ، ومنه $T = \frac{2\pi}{\omega}$ مباشرة دون حاجة إلى الكتلة أو الثابت.

منحنى جيبي للإزاحة مع الزمن يتذبذب بين موجب A وسالب A، ونقطة حمراء عند القمة حيث السرعة صفر والعجلة أكبر ما يمكن، ونقطة خضراء عند عبور المحور حيث السرعة أكبر ما يمكن والعجلة صفر، مع سهم يبين طول الزمن الدوري

السرعة والعجلة والطاقة خلال الاهتزاز

عند الطرفين ( $x = \pm A$ ) يسكن الجسم لحظيًّا، والقوة والعجلة أكبر ما يمكن.
عند موضع الاتزان ( $x = 0$ ) السرعة أكبر ما يمكن، والقوة والعجلة صفر.
لذلك لا تنعدم السرعة والعجلة في اللحظة نفسها أبدًا. وتتبادل الطاقة أثناء كل دورة: تكون كلها طاقة وضع مرونية عند الطرفين، وكلها طاقة حركية عند المركز.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (من القوة): جسم كتلته 0.50 كجم يتحرك على مسار أفقي أملس تحت قوة رادة $F = -50x$ (نيوتن). بالمقارنة $k = 50$ نيوتن/م، فتكون $\omega = \sqrt{\frac{50}{0.50}} = 10$ راديان/ث، و $T = \frac{2\pi}{10} \approx 0.63$ ث.

مثال 2 (من المعادلة): إزاحة جسم تُعطى بالعلاقة $x = 0.06\sin 8t$ (بالمتر والثانية). السعة 0.06 م، والتردد الزاوي 8 راديان/ث، فيكون $T = \frac{2\pi}{8} \approx 0.79$ ث والتردد $f \approx 1.27$ هرتز.

مثال 3 (هل هي حركة توافقية؟): جسم كتلته 0.20 كجم تؤثر فيه قوة $F = -45x$ . القوة تتناسب مع الإزاحة وعكسها، فالحركة توافقية بسيطة، و $\omega = \sqrt{\frac{45}{0.20}} = 15$ راديان/ث، و $T = \frac{2\pi}{15} \approx 0.42$ ث. أما لو كانت القوة $F = -5x^{2}$ فلن تكون الحركة توافقية بسيطة، لأن القوة لا تتناسب مع الإزاحة نفسها.

ملاحظات مهمة

الإشارة السالبة في $F = -kx$ و $a = -\omega^{2}x$ أساسية؛ فهي التي تجعل القوة «رادة» لا طاردة.
ميّز بين التردد $f$ (هرتز) والتردد الزاوي $\omega = 2\pi f$ (راديان/ثانية).
في الحركة التوافقية البسيطة لا يعتمد الزمن الدوري على السعة.
«السعة» مسافة من المركز إلى الطرف، لا من طرف إلى طرف.

المفاهيم الأساسية

شرط الحركة التوافقية البسيطة: $F = -kx$ أو $a = -\omega^{2}x$ .
$T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}$ .
لكتلة وقوة رادة: $\omega = \sqrt{k/m}$ و $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ .
في $x = A\sin\omega t$ : السعة $A$ والتردد الزاوي $\omega$ .
السرعة عظمى عند المركز، والعجلة عظمى عند الطرفين.

ملخص الدرس

الحركة التوافقية البسيطة حركة اهتزازية تسببها قوة رادة تتناسب مع الإزاحة وتتجه نحو موضع الاتزان، فتكون العجلة $a = -\omega^{2}x$ . نصفها بالسعة والزمن الدوري والتردد والتردد الزاوي، ونحسب زمنها الدوري إما من القوة الرادة بالعلاقة $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ ، وإما من معادلة الإزاحة بقراءة $\omega$ مباشرة. والجسم يسكن لحظيًّا عند الطرفين ويكون أسرع ما يمكن عند المركز.

أسئلة للتدريب

جسم كتلته 0.25 كجم تؤثر فيه قوة رادة $F = -100x$ . احسب زمنه الدوري.
إزاحة جسم $x = 0.05\sin 4\pi t$ . أوجد السعة والتردد الزاوي والزمن الدوري والتردد.
على منحنى الإزاحة مع الزمن، حدد النقاط التي تنعدم عندها السرعة والنقاط التي تنعدم عندها العجلة.
لماذا يرتفع صوت المسطرة المهتزة عندما نقصّر جزءها الحر؟
هل الحركة التي تحدثها القوة $F = +kx$ توافقية بسيطة؟ فسّر.