أسئلة: النسب المثلثية للزاوية الحادة

الإجابة الصحيحة: الضلع المقابل للزاوية القائمة وهو أطول الأضلاع

الوتر يقابل الزاوية القائمة، وهو أطول أضلاع المثلث القائم.

الإجابة الصحيحة: المقابل ÷ الوتر

$\sin A$ هو نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الوتر.

الإجابة الصحيحة: المقابل ÷ المجاور

$\tan A$ هو نسبة المقابل إلى المجاور، ويساوي أيضًا $\frac{\sin A}{\cos A}$.

الإجابة الصحيحة: خطأ

الوتر أطول الأضلاع، فنسبة المقابل إلى الوتر أقل من $1$ دائمًا.

الإجابة الصحيحة: صواب

الظل نسبة المقابل إلى المجاور، وقد يكون المقابل أطول من المجاور؛ مثل $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{4}{5}$

$AC = \sqrt{9 + 16} = 5$، والمقابل للزاوية $A$ هو $BC = 4$، فيكون $\sin A = \frac{4}{5}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{3}{5}$

المجاور للزاوية $A$ هو $AB = 3$ والوتر $AC = 5$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{4}{3}$

$\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3}$.

الإجابة الصحيحة: $\sin A = \cos C$

الزاويتان $A$ و$C$ متتامتان، والمقابل لإحداهما هو المجاور للأخرى.

الإجابة الصحيحة: $1$

$\tan A = \frac{BC}{AB}$ و$\tan C = \frac{AB}{BC}$، وحاصل ضربهما $1$.

الإجابة الصحيحة: $1$

هذه العلاقة نتيجة مباشرة لنظرية فيثاغورث.

الإجابة الصحيحة: $\frac{15}{17}$

المقابل $8$ والوتر $17$، فالمجاور $\sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{5}{13}$

المقابل $5$ والمجاور $12$، فالوتر $\sqrt{25 + 144} = 13$، و$\sin A = \frac{5}{13}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{5}{13}$

الوتر $AB = \sqrt{144 + 25} = 13$، والمجاور للزاوية $B$ هو $BC = 5$.

الإجابة الصحيحة: لأن المثلثين متشابهان فتتضاعف الأضلاع كلها بالمعامل نفسه

المثلثات القائمة التي تشترك في زاوية حادة متشابهة (ز ز)، فتبقى النسب بين أضلاعها ثابتة وتعتمد على قياس الزاوية وحده.

جيب الزاوية $\sin A$ = طول الضلع المقابل ÷ طول الوتر. جيب تمام الزاوية $\cos A$ = طول الضلع المجاور ÷ طول الوتر. ظل الزاوية $\tan A$ = طول الضلع المقابل ÷ طول الضلع المجاور.

$AC = \sqrt{25 + 144} = 13$ سم. $\sin A = \frac{12}{13}$، و$\cos A = \frac{5}{13}$، و$\tan A = \frac{12}{5}$. التحقق: $\frac{144}{169} + \frac{25}{169} = \frac{169}{169} = 1$ ✓.

$\cos A = 0.6 = \frac{3}{5}$، فنفترض المجاور $3$ والوتر $5$، فيكون المقابل $\sqrt{25 - 9} = 4$. إذن $\sin A = \frac{4}{5} = 0.8$ و$\tan A = \frac{4}{3}$.

بالنسبة للزاوية $A$: المقابل $BC$ والمجاور $AB$ والوتر $AC$. وبالنسبة للزاوية $C$: المقابل $AB$ والمجاور $BC$ والوتر $AC$. إذن $\sin A = \frac{BC}{AC}$ و$\cos C = \frac{BC}{AC}$، فيكون $\sin A = \cos C$. كذلك $\tan A = \frac{BC}{AB}$ و$\tan C = \frac{AB}{BC}$، وحاصل ضربهما $\frac{BC}{AB} \times \frac{AB}{BC} = 1$.