أسئلة: الازدواج المحصل

الإجابة الصحيحة: محصلتها صفر ومجموع عزومها حول أي نقطة لا يساوي صفرًا

انعدام المحصلة وحده لا يكفي، يجب أن يبقى عزم غير صفري كي يبقى دوران.

الإجابة الصحيحة: متزنة ولا تكافئ ازدواجًا

القوى المتلاقية يمر خطها جميعًا بنقطة فعزمها حول تلك النقطة صفر، وبانعدام المحصلة تنعدم العزوم حول أي نقطة فتتزن.

الإجابة الصحيحة: تكافئ ازدواجًا عزمه $-9$ نيوتن.متر

المحصلة $12 - 5 - 7 = 0$ ومجموع العزوم حول $A$ يساوي $-5\times 0.4 - 7\times 1.0 = -9$ فهي ازدواج مع عقارب الساعة.

الإجابة الصحيحة: ضعف مساحة المثلث × مقدار القوة الممثلة بوحدة الطول

بيّن البرهان أن العزم $= 2\times$ المساحة $\times$ مقياس رسم القوة.

الإجابة الصحيحة: $72$ نيوتن.سم

المقياس $1.5$ نيوتن/سم والمساحة $24$ سم² فالعزم $2\times 24\times 1.5 = 72$ نيوتن.سم.

الإجابة الصحيحة: $43.3$ نيوتن.سم

المقياس $0.5$ نيوتن/سم والمساحة $\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 100 \approx 43.3$ سم² فالعزم $2\times 43.3\times 0.5 \approx 43.3$ نيوتن.سم.

الإجابة الصحيحة: $16$ نيوتن.متر عكس عقارب الساعة

ازدواج $20\times 0.5 = 10$ وازدواج $12\times 0.5 = 6$ بالاتجاه نفسه (الترتيب $A\to B\to C\to D$ عكس عقارب الساعة) فالمحصل $16$.

الإجابة الصحيحة: $+7$ نيوتن.متر

الازدواج المحصل عزمه المجموع الجبري: $12 + (-5) = 7$.

الإجابة الصحيحة: ازدواجًا عزمه $-24$ نيوتن.متر

ثبات مجموع العزوم عند ثلاث نقاط غير مستقيمة وعدم انعدامه يعني ازدواجًا بهذا العزم.

الإجابة الصحيحة: $400$ نيوتن.سم

ازدواجان كل منهما $10\times 20 = 200$ بالاتجاه نفسه فالمجموع $400$، وبقاعدة المضلع: $2\times 400\times 0.5 = 400$.

الإجابة الصحيحة: $24$ نيوتن.سم

المقياس $2$ نيوتن/سم والمساحة $\dfrac{1}{2}\times 3\times 4 = 6$ سم² فالعزم $2\times 6\times 2 = 24$ نيوتن.سم.

الإجابة الصحيحة: $48$ نيوتن.سم

ازدواج القوتين $3$ ذراعه $8$ فعزمه $24$، وازدواج القوتين $4$ ذراعه $6$ فعزمه $24$، بالاتجاه نفسه: المجموع $48$.

الإجابة الصحيحة: $6$ نيوتن

لانعدام المحصلة: $10 - 4 - F = 0$ ومنها $F = 6$ نيوتن، وعندها العزم حول $A$ $= -4\times 0.5 - 6\times 1.2 = -9.2$ نيوتن.متر.

الإجابة الصحيحة: خطأ

انعدام المحصلة لا يكفي؛ فقد يبقى مجموع العزوم غير صفري فتكون المجموعة ازدواجًا يُحدث دورانًا.

الإجابة الصحيحة: $-8$ نيوتن.متر

$8 - 20 + 4 = -8$ نيوتن.متر (مع عقارب الساعة).

كلتا المجموعتين محصلتها صفر. في المتزنة ينعدم أيضًا مجموع العزوم حول أي نقطة فلا ينتقل الجسم ولا يدور (مثال: قوتان متساويتان ومتضادتان على خط عمل واحد). وفي المكافئة لازدواج لا ينعدم مجموع العزوم فيدور الجسم دون أن ينتقل (مثال: قوتان $F$ متضادتان متوازيتان بينهما ذراع $L$ فعزمهما $FL \ne 0$). فلإثبات التكافؤ لازدواج يلزم الشرطان معًا: انعدام المحصلة وعدم انعدام مجموع العزوم.

النسب $\dfrac{15}{12} = \dfrac{20}{16} = \dfrac{25}{20} = 1.25$ نيوتن/سم، فالقوى ممثلة تمامًا بأضلاع المثلث في ترتيب دوري؛ إذن تكافئ ازدواجًا. مساحة المثلث $\dfrac{1}{2}\times 12\times 16 = 96$ سم². معيار العزم $= 2\times 96\times 1.25 = 240$ نيوتن.سم. (تحقق: بأخذ $A$ نقطة العزم فقط القوة $20$ على $BC$ لها عزم $= 12\times 20 = 240$.)

المحصلة: القوتان $3$ نيوتن متضادتان ومتوازيتان ومحصلتهما صفر، وكذلك القوتان $4$ نيوتن. فمحصلة المجموعة صفر. القوتان $3$ نيوتن تكوّنان ازدواجًا ذراعه $BC = 8$ سم فعزمه $3\times 8 = 24$ نيوتن.سم، والقوتان $4$ نيوتن تكوّنان ازدواجًا ذراعه $AB = 6$ سم فعزمه $4\times 6 = 24$ نيوتن.سم. وبما أن ترتيب الأضلاع $A\to B\to C\to D$ دوري فالدورانان في اتجاه واحد، فالازدواج المحصل $24 + 24 = 48$ نيوتن.سم، وهو لا يساوي صفرًا فالمجموعة تكافئ ازدواجًا.

النقاط الثلاث ليست على استقامة واحدة والمجموع ثابت ولا يساوي الصفر، فالمجموعة تكافئ ازدواجًا عزمه $-30$ نيوتن.متر (يدور مع عقارب الساعة). لو كانت تكافئ قوة واحدة $\vec{R}\ne\vec{0}$ لكان مجموع العزوم حول نقطتين متساويًا فقط إذا كان خط عمل $\vec{R}$ موازيًا للمستقيم الواصل بينهما؛ ولا يمكن لخط عمل واحد أن يوازي $AB$ و$AC$ معًا لأن $AB$ يوازي محور السينات و$AC$ يوازي محور الصادات. فهذا مستحيل إلا إذا كانت المحصلة صفرًا، أي ازدواج.

$G_1 = +8\times 0.5 = +4$ نيوتن.متر و$G_2 = -5\times 0.8 = -4$ نيوتن.متر. الازدواج المحصل $G = 4 - 4 = 0$. إذن يتزن الجسم لأن مجموع القياسات الجبرية لعزوم الازدواجين يساوي صفرًا.