أهداف التعلم

• تحدد شرط تكافؤ مجموعة قوى مستوية لازدواج.
• تستخدم قاعدة القوى الممثلة بأضلاع مثلث أو مضلع في ترتيب دوري لحساب عزم الازدواج.
• تطبق القاعدة: ثبات مجموع العزوم حول ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة.
• تحسب الازدواج المحصل لعدة ازدواجات مستوية.

شرح الدرس

المجموعة التي تكافئ ازدواجًا

تكافئ مجموعة قوى مستوية $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \ldots, \vec{F}_n$ ازدواجًا إذا تحقق الشرطان معًا:

1. انعدام المحصلة: $\sum\vec{F} = \vec{0}$ (أو مجموع المركبات الجبرية في أي اتجاه صفر).
2. عدم انعدام مجموع العزوم حول أي نقطة: $\sum M \ne 0$.

وتحقق شرط واحد لا يكفي: فإذا كانت القوى متلاقية وانعدمت محصلتها فالمجموعة متزنة وليست ازدواجًا؛ وإذا لم تنعدم المحصلة فهي ليست ازدواجًا أصلًا. وعندما يتحقق الشرطان يكون عزم الازدواج المكافئ هو قيمة مجموع العزوم (وهي واحدة حول أي نقطة).

قوى ممثلة بأضلاع مثلث

إذا أثّرت ثلاث قوى مستوية غير متلاقية في جسم متماسك وكانت ممثلة تمامًا (مقدارًا واتجاهًا وخط عمل) بأضلاع مثلث مأخوذة في ترتيب دوري واحد، فإنها تكافئ ازدواجًا معيار عزمه:

حيث $S$ مساحة المثلث و$k$ مقدار القوة الممثلة بوحدة الطول.

والسبب: القوى تمثلها أضلاع $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CA}$ فمجموعها المتجه صفر؛ ومحصلة القوتين $\vec{F}_2, \vec{F}_3$ هي $-\vec{F}_1$ تؤثر في $B$، فتكوّن مع $\vec{F}_1$ ازدواجًا ذراعه البعد العمودي من $B$ على $\overline{AC}$.

ويُعمَّم ذلك: إذا مثّلت أضلاع مضلع مقفل في ترتيب دوري عدة قوى مستوية فهي تكافئ ازدواجًا معيار عزمه $2\,S\,k$ حيث $S$ مساحة المضلع و$k$ مقدار القوة الممثلة بوحدة الطول.

قاعدة النقاط الثلاث

إذا كان مجموع القياسات الجبرية لعزوم قوى مستوية بالنسبة لثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة مقدارًا واحدًا ثابتًا لا يساوي الصفر، فإن المجموعة تكافئ ازدواجًا عزمه يساوي هذا المقدار الثابت. (لو انعدمت المحصلة لكان الازدواج؛ وإن لم تنعدم فتكون القوة الوحيدة المحتملة موازية للخط الواصل بين أي نقطتين، وهذا مستحيل لثلاث نقاط غير مستقيمة.)

الازدواج المحصل

إذا أثّرت في جسم عدة ازدواجات مستوية فإن مجموعها يكافئ ازدواجًا واحدًا هو الازدواج المحصل، عزمه مجموع القياسات الجبرية لعزوم الازدواجات: $G = G_1 + G_2 + \cdots + G_n$. وإذا انعدم $G$ اتزن الجسم.

أسئلة للتدريب

1. أثرت ثلاث قوى رأسية على قضيب: $10$ نيوتن لأعلى في $A$ و$4$ نيوتن لأسفل على بعد $0.5$ م من $A$ وقوة ثالثة $F$ لأسفل على بعد $1.2$ م منها. أوجد $F$ بحيث تكافئ القوى ازدواجًا، ثم احسب عزم هذا الازدواج.
2. مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه $10$ سم أثرت قوى $5$ نيوتن على أضلاعه في ترتيب دوري. أوجد عزم الازدواج الذي تكافئه.
3. ازدواجان: عزم الأول $15$ نيوتن.متر وعزم الثاني $-15$ نيوتن.متر. ماذا يعني ذلك للجسم؟
4. قوى متلاقية في نقطة محصلتها صفر. لماذا لا تكافئ ازدواجًا؟