أهداف التعلم

• تعرّف عزم قوة بالنسبة لنقطة كمتجه، وتحدد اتجاهه بقاعدة اليد اليمنى.
• تحسب عزم قوة بطريقة ذراع القوة العمودي، وتحدد وحدة قياسه.
• تحسب القياس الجبري لعزم قوة مستوية بالمركبات الإحداثية، وتفسّر إشارته.
• تطبّق نظرية فارينيون والنظرية العامة للعزوم على قوى متلاقية.
• تستنتج موضع خط عمل المحصلة من مقارنة مجموع العزوم حول نقطتين.

شرح الدرس

مفهوم عزم القوة

إذا أثّرت قوة $\vec{F}$ في جسم صلب فقد تُحدث له حركة انتقالية أو دورانية. العزم هو مقياس قدرة القوة على إحداث دوران حول نقطة تسمى مركز العزم $O$. ويتوقف على أمرين: مقدار القوة، والبعد العمودي بين $O$ وخط عمل القوة.

العزم متجهًا

نفرض أن $A$ أي نقطة على خط عمل القوة، ونضع $\vec{r} = \overrightarrow{OA}$ (متجه موضع $A$ بالنسبة لـ $O$). عزم القوة بالنسبة للنقطة $O$ هو متجه يساوي الضرب الاتجاهي:

ويكون اتجاهه عموديًا على المستوى الذي يحوي $O$ والقوة، ويُعيَّن بقاعدة اليد اليمنى: إذا لففت أصابع يدك اليمنى من $\vec{r}$ إلى $\vec{F}$ فإن إبهامك يشير إلى اتجاه $\vec{M}_O$. وبما أن $A$ يمكن أن تكون أي نقطة على خط العمل، فإن العزم لا يتغير بتحريك القوة على امتداد خط عملها.

معيار العزم وذراع القوة

إذا كانت $\theta$ الزاوية بين $\vec{r}$ و$\vec{F}$ فإن معيار العزم:

حيث $d = \|\vec{r}\|\sin\theta$ هو طول العمود الساقط من $O$ على خط عمل القوة، ويسمى ذراع القوة. وحدة العزم هي وحدة القوة × وحدة الطول: نيوتن.متر، أو داين.سم، أو ث كجم.متر، علمًا بأن $1$ ث كجم.متر $= 9.8$ نيوتن.متر.

القياس الجبري للعزم

في مستوى واحد يكون اتجاه $\vec{M}_O$ هو اتجاه $\hat{k}$ أو $-\hat{k}$ العمودي على المستوى، فنكتفي بعدد حقيقي هو القياس الجبري:

• موجب إذا كانت القوة تدير الجسم حول $O$ عكس اتجاه دوران عقارب الساعة.
• سالب إذا كانت تديره مع اتجاه دوران عقارب الساعة.

وإذا كانت القوة $\vec{F} = (F_x, F_y)$ تؤثر في نقطة موضعها $(x, y)$ بالنسبة لمركز العزم فإن:

ومنها القياس الجبري $M_O = x F_y - y F_x$. فإذا كان مركز العزم نقطة $P(x_P, y_P)$ فإن $M_P = (x - x_P)F_y - (y - y_P)F_x$.

حالة خاصة: إذا مرّ خط عمل القوة بنقطة العزم فإن $d = 0$ ويكون العزم صفرًا.

نظرية فارينيون (مبدأ العزوم)

عزم قوة بالنسبة لنقطة يساوي مجموع عزوم مركبتيها بالنسبة للنقطة نفسها. فإذا كانت $\vec{F} = F_x\hat{\imath} + F_y\hat{\jmath}$ تؤثر في $A(x, y)$ فإن عزم $F_x$ هو $-yF_x$ وعزم $F_y$ هو $xF_y$، ومجموعهما هو الصيغة الإحداثية نفسها. وبذلك لا نحتاج إلى رسم العمود.

النظرية العامة للعزوم

مجموع عزوم عدة قوى مستوية متلاقية في نقطة، بالنسبة لأي نقطة في الفراغ، يساوي عزم محصلة هذه القوى بالنسبة للنقطة نفسها. وهي نتيجة لخاصية توزيع الضرب الاتجاهي: $\vec{r}\times\vec{F}_1 + \vec{r}\times\vec{F}_2 + \cdots = \vec{r}\times\vec{R}$.

وتُعمَّم بالقول: إذا كان مجموع عزوم قوى مستوية حول نقطة $A$ يساوي مجموع عزومها حول نقطة أخرى $B$، فإن خط عمل المحصلة يوازي $\overleftrightarrow{AB}$؛ وإذا كان مجموعها حول $A$ مساويًا لـ سالب مجموعها حول $B$ فإن خط عمل المحصلة يمر بمنتصف $\overline{AB}$.

أسئلة للتدريب

1. قوة مقدارها $50$ نيوتن يبعد خط عملها $8$ سم عن النقطة $A$. أوجد معيار عزمها حول $A$ بوحدة نيوتن.سم.
2. تؤثر القوة $\vec{F} = 2\hat{\jmath}$ نيوتن في نقطة موضعها $(5, 0)$ متر. أوجد عزمها حول الأصل وفسّر إشارته.
3. تؤثر $\vec{F} = (6, -8)$ نيوتن في النقطة $(2, 1)$. أوجد عزمها حول النقطة $(0, 0)$ ثم حول $(2, 1)$ نفسها. ماذا تلاحظ في الحالة الثانية؟
4. كيف يمكنك إثبات أن خط عمل قوة يمر بنقطة معينة بحساب عزمها؟