أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (قضيب على حاملين): لوح منتظم طوله $6$ م ووزنه $120$ نيوتن يرتكز أفقيًا على حاملين عند طرفيه $A$ و$B$، ويقف عليه رجل وزنه $600$ نيوتن على بعد $1.5$ م من $A$. أوجد رد الفعل عند كل حامل.

الحل: نأخذ العزوم حول $A$: $R_B \times 6 = 120 \times 3 + 600 \times 1.5 = 360 + 900 = 1260$ ومنها $R_B = 210$ نيوتن. ومن مجموع القوى الرأسية $R_A + R_B = 720$ فيكون $R_A = 510$ نيوتن.

مثال 2 (قضيب معلق بخيطين): قضيب منتظم طوله $100$ سم ووزنه $50$ نيوتن معلق أفقيًا بخيطين رأسيين عند طرفيه $A$ و$B$. أين يُعلَّق ثقل مقداره $100$ نيوتن حتى يكون الشد في خيط $A$ ضعف الشد في خيط $B$؟

الحل: $T_A + T_B = 50 + 100 = 150$ و$T_A = 2T_B$، فـ $T_B = 50$ نيوتن و$T_A = 100$ نيوتن. بأخذ العزوم حول $A$ والثقل على بعد $x$ منها: $T_B \times 100 = 50 \times 50 + 100x$ أي $5000 = 2500 + 100x$ ومنها $x = 25$ سم.

مثال 3 (سلم): سلم منتظم طوله $5$ م ووزنه $200$ نيوتن يستند بطرفه العلوي إلى حائط رأسي أملس، وطرفه السفلي على أرض أفقية خشنة يبعد $3$ م عن الحائط. أوجد رد فعل الحائط والأرض، وأقل معامل احتكاك يمنع الانزلاق.

الحل: ارتفاع الطرف العلوي $\sqrt{25 - 9} = 4$ م. بأخذ العزوم حول الطرف السفلي: $N \times 4 = 200 \times 1.5$ (البعد الأفقي لمنتصف السلم $1.5$ م)، فـ $N = 75$ نيوتن. من $\sum F_y = 0$: $R = 200$ نيوتن، ومن $\sum F_x = 0$: $F_r = N = 75$ نيوتن. ويلزم $\mu_s \ge \dfrac{F_r}{R} = \dfrac{75}{200} = 0.375$.

مثال 4 (صعود شخص على السلم): في المثال السابق إذا كان $\mu_s = 0.5$ فإلى أي بُعد على السلم (من طرفه السفلي) يستطيع رجل وزنه $600$ نيوتن الصعود قبل أن ينزلق السلم؟

الحل: عند وشك الانزلاق: $R = 800$ نيوتن فـ $F_r = 0.5 \times 800 = 400$ نيوتن و$N = 400$ نيوتن. العزوم حول الطرف السفلي: $400 \times 4 = 200 \times 1.5 + 600 \times (0.6\,s)$ حيث $0.6 = \cos\theta$ للسلم. أي $1600 = 300 + 360s$ ومنها $s = \dfrac{1300}{360} \approx 3.61$ م.