ملخص حركة الأجسام متغيرة الكتلة أو العجلة — ثالثة ثانوي

مقدمة

المادة: تطبيقات الرياضيات (الميكانيكا)
الشعبة: علمي رياضة
الوحدة: الوحدة الثانية: تطبيقات على قوانين نيوتن للحركة

حتى الآن تعاملنا مع قوى ثابتة في المقدار وأجسام ثابتة الكتلة، فكانت معادلة الحركة $F = ma$ كافية. لكن قوة محرك الصاروخ تتغير مع الزمن، وقوة الزنبرك تتغير مع الاستطالة، وكتلة الصاروخ نفسها تنقص مع احتراق الوقود. نحتاج إذن صورة أعم للقانون الثاني تستخدم التفاضل والتكامل.

أهداف التعلم

تكتب القانون الثاني لنيوتن بصورته العامة بدلالة كمية الحركة.
تحل مسائل حركة جسم ثابت الكتلة تحت قوة دالة في الزمن أو في الموضع.
تستخدم المتجهات لإيجاد القوة أو الإزاحة أو السرعة من معادلة الحركة.
تحسب القوة المؤثرة في جسم متغير الكتلة.
تحسب التغير في كمية الحركة بتكامل القوة (أو العجلة) على فترة زمنية.

شرح الدرس

القانون الثاني بصورته العامة

معدل تغير كمية الحركة يتناسب مع القوة المؤثرة ويحدث في اتجاهها، وباختيار الوحدات المطلقة يصبح التناسب مساواة:

\vec{F} = \frac{d(m\vec{v})}{dt}

فإذا كانت الكتلة ثابتة اختُصرت إلى $\vec{F} = m\dfrac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{a}$ . أما إذا تغيرت الكتلة فإن:

\vec{F} = m\frac{d\vec{v}}{dt} + \vec{v}\,\frac{dm}{dt}

وفي هذه الحالة لا تكفي $F = ma$ .

قوة دالة في الزمن

إذا كانت $F = f(t)$ لجسم كتلته ثابتة، فإن $m\dfrac{dv}{dt} = F$ ومنه:

v = v_0 + \frac{1}{m}\int F\,dt, \qquad x = x_0 + \int v\,dt

قوة دالة في الإزاحة (الموضع)

إذا كانت $F = f(x)$ فنكتب العجلة $a = v\dfrac{dv}{dx}$ فتصبح المعادلة $m\,v\,\dfrac{dv}{dx} = F$ ، أي:

\frac{1}{2}m\left(v^2 - v_0^2\right) = \int_{x_0}^{x} F\,dx

معادلة الحركة بالمتجهات

عندما تكون القوة والعجلة متجهين في المستوى نكتب $\vec{F} = m\vec{a}$ ونوازن المركبات: مركبة $\hat{\imath}$ مع مركبة $\hat{\imath}$ ومركبة $\hat{\jmath}$ مع مركبة $\hat{\jmath}$ . وإذا كانت السرعة ثابتة اتجاهًا ومقدارًا فمحصلة القوى صفر.

التغير في كمية الحركة

لأن $\dfrac{d(m\vec{v})}{dt} = \vec{F}$ فإن $\Delta\vec{p} = \int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\,dt$ . وللكتلة الثابتة $\Delta\vec{p} = m\int_{t_1}^{t_2}\vec{a}\,dt = m\,\Delta\vec{v}$ ، أي أن المساحة تحت منحنى العجلة–الزمن هي $\Delta v$ .

منحنى العجلة مع الزمن والمساحة المظللة بين لحظتين تعطي التغير في السرعة ومنها التغير في كمية الحركة

تعريفات

جسم متغير الكتلة: جسم تتغير كتلته أثناء الحركة (كصاروخ يحرق وقوده أو كرة تلتقط غبارًا).
معادلة الحركة العامة: $\vec{F} = \dfrac{d(m\vec{v})}{dt}$ .
التغير في كمية الحركة: $\Delta\vec{p} = \int \vec{F}\,dt$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (قوة دالة في الزمن): تؤثر قوة $F = 3t^2 + 2$ نيوتن في جسم كتلته $2$ كجم يبدأ من السكون عند نقطة الأصل على مستقيم. أوجد سرعته وإزاحته عند $t = 2$ ثانية.

الحل: $a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{3t^2 + 2}{2}$ ، فـ $v = \dfrac{t^3 + 2t}{2}$ لأن $v(0) = 0$ ، وعند $t = 2$ : $v = \dfrac{8 + 4}{2} = 6$ م/ث. الإزاحة $x = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{t^4}{4} + t^2\right)$ فعند $t = 2$ : $x = \dfrac{1}{2}(4 + 4) = 4$ م.

مثال 2 (قوة دالة في الموضع): جسم كتلته $2$ كجم يبدأ السكون من نقطة الأصل على مستقيم وتؤثر فيه قوة $F = 4x + 8$ نيوتن حيث $x$ بُعد الجسم بالمتر. أوجد $v^2$ بدلالة $x$ ، وسرعته عند $x = 3$ .

الحل: $\dfrac{1}{2}(2)v^2 = \displaystyle\int_0^x (4x + 8)\,dx = 2x^2 + 8x$ فـ $v^2 = 2x^2 + 8x$ . عند $x = 3$ : $v^2 = 18 + 24 = 42$ و $v \approx 6.48$ م/ث. وتبلغ السرعة $6$ م/ث عندما $2x^2 + 8x - 36 = 0$ أي $x = -2 + \sqrt{22} \approx 2.69$ م.

مثال 3 (بالمتجهات): جسم كتلته $2$ كجم يتحرك في المستوى ومتجه موضعه $\vec{r} = (t^2 + 2t)\hat{\imath} + t^3\hat{\jmath}$ متر. أوجد القوة المؤثرة فيه عند $t = 1$ ثانية.

الحل: $\vec{v} = (2t + 2)\hat{\imath} + 3t^2\hat{\jmath}$ و $\vec{a} = 2\hat{\imath} + 6t\hat{\jmath}$ ، فـ $\vec{F} = m\vec{a} = 4\hat{\imath} + 12t\,\hat{\jmath}$ . عند $t = 1$ : $\vec{F} = 4\hat{\imath} + 12\hat{\jmath}$ نيوتن ومعيارها $\sqrt{16 + 144} = 4\sqrt{10} \approx 12.65$ نيوتن.

مثال 4 (كتلة متغيرة): تتحرك كتلة على مستقيم كتلتها $m = t + 2$ كجم وسرعتها $v = 3t$ م/ث. أوجد كمية حركتها والقوة المؤثرة عند $t = 2$ ثانية.

الحل: $p = mv = 3t(t + 2) = 3t^2 + 6t$ فعند $t = 2$ : $p = 24$ كجم.م/ث. القوة $F = \dfrac{dp}{dt} = 6t + 6$ فتساوي $18$ نيوتن. لاحظ أن $m\,a = (4)(3) = 12$ نيوتن لا تساوي $18$ ؛ ففرق $v\dfrac{dm}{dt} = 6 \times 1 = 6$ نيوتن ناتج عن تغير الكتلة.

مثال 5 (كرة تلتقط غبارًا): كرة كتلتها $2$ كجم تتحرك بسرعة ثابتة $5$ م/ث وسط غبار يلتصق بسطحها بمعدل $0.1$ كجم/ث. ما القوة اللازمة لإبقاء سرعتها ثابتة؟

الحل: $m = 2 + 0.1t$ و $v = 5$ ثابتة، فـ $F = m\dfrac{dv}{dt} + v\dfrac{dm}{dt} = 0 + 5 \times 0.1 = 0.5$ نيوتن. السرعة ثابتة لكن القوة غير صفرية.

مثال 6 (التغير في كمية الحركة): جسم كتلته $4$ كجم تتغير عجلته بالعلاقة $a = 2t - 4$ م/ث². أوجد التغير في كمية حركته خلال الفترة $[2, 5]$ .

الحل: $\Delta v = \displaystyle\int_2^5 (2t - 4)\,dt = \left[t^2 - 4t\right]_2^5 = (25 - 20) - (4 - 8) = 9$ م/ث، فـ $\Delta p = 4 \times 9 = 36$ كجم.م/ث.

ملاحظات مهمة

عند ثبات الكتلة يمكنك استخدام $F = ma$ بأمان؛ أما عند تغيرها فاستخدم $F = d(mv)/dt$ .
إذا كانت القوة دالة في $x$ فاستخدم $a = v\,dv/dx$ ولا تحاول التكامل بالنسبة للزمن مباشرة.
لا تنس الشرط الابتدائي لتعيين ثابت التكامل (السرعة أو الموضع عند $t = 0$ ).
الوحدات المطلقة ضرورية: الكتلة بالكيلوجرام والقوة بالنيوتن؛ وإذا أُعطيت الكتلة بالجرام فحوّلها.

المفاهيم الأساسية

القانون الثاني: $\vec{F} = \dfrac{d(m\vec{v})}{dt}$ ، وللكتلة الثابتة $\vec{F} = m\vec{a}$ .
قوة دالة في الزمن: $v = v_0 + \dfrac{1}{m}\int F\,dt$ .
قوة دالة في الموضع: $\dfrac{1}{2}m(v^2 - v_0^2) = \int F\,dx$ .
كتلة متغيرة: $F = m\dfrac{dv}{dt} + v\dfrac{dm}{dt}$ .
$\Delta\vec{p} = \int\vec{F}\,dt$ .

ملخص الدرس

القانون الثاني لنيوتن في صورته العامة يربط القوة بمعدل تغير كمية الحركة. عند ثبات الكتلة يصبح $F = ma$ ، ونحل بالتكامل إذا كانت القوة دالة في الزمن ( $v = v_0 + \tfrac{1}{m}\int F\,dt$ ) أو في الموضع ( $\tfrac{1}{2}m(v^2 - v_0^2) = \int F\,dx$ ). وإذا تغيرت الكتلة أضفنا الحد $v\,dm/dt$ . وفي المتجهات نوازن مركبات القوة بمركبات العجلة.

أسئلة للتدريب

تؤثر قوة $F = 6t$ نيوتن في جسم كتلته $3$ كجم ساكن. أوجد سرعته بعد $3$ ثوانٍ.
جسم كتلته $1$ كجم يبدأ من السكون وتؤثر فيه قوة $F = 6x$ نيوتن. أوجد $v$ عند $x = 2$ م.
جسم كتلته $2$ كجم متجه إزاحته $\vec{s} = 3t^2\hat{\imath} - t^3\hat{\jmath}$ . أوجد القوة عند $t = 2$ .
لماذا لا تكفي $F = ma$ لوصف حركة صاروخ يحرق وقوده؟