أسئلة: حركة الأجسام متغيرة الكتلة أو العجلة

الإجابة الصحيحة: $\vec{F} = \dfrac{d(m\vec{v})}{dt}$

القوة تساوي معدل تغير كمية الحركة، وتختصر إلى $F = ma$ عند ثبات الكتلة.

الإجابة الصحيحة: تكون كتلة الجسم ثابتة

عند تغير الكتلة تظهر إضافة $v\dfrac{dm}{dt}$ فلا تكفي $F = ma$.

الإجابة الصحيحة: $6$ م/ث

$a = \dfrac{3t^2 + 2}{2}$ فـ $v = \dfrac{t^3 + 2t}{2}$ وعند $t = 2$: $\dfrac{8 + 4}{2} = 6$ م/ث.

الإجابة الصحيحة: $4$ م

$x = \int v\,dt = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{t^4}{4} + t^2\right)$ فـ $x(2) = \dfrac{1}{2}(4 + 4) = 4$ م.

الإجابة الصحيحة: $v^2 = 2x^2 + 8x$

$\dfrac{1}{2}(2)v^2 = \int_0^x(4x + 8)\,dx = 2x^2 + 8x$.

الإجابة الصحيحة: $24$

$\dfrac{1}{2}(1)v^2 = \int_0^2 6x\,dx = 3x^2\Big|_0^2 = 12$ فـ $v^2 = 24$.

الإجابة الصحيحة: $4\hat{\imath} + 12\hat{\jmath}$ نيوتن

$\vec{a} = 2\hat{\imath} + 6t\hat{\jmath}$ فـ $\vec{F} = m\vec{a} = 4\hat{\imath} + 12t\hat{\jmath}$ وعند $t = 1$ تكون $4\hat{\imath} + 12\hat{\jmath}$.

الإجابة الصحيحة: $18$ نيوتن

$p = 3t(t + 2) = 3t^2 + 6t$ فـ $F = \dfrac{dp}{dt} = 6t + 6 = 18$ نيوتن (وليست $ma = 12$).

الإجابة الصحيحة: $0.5$ نيوتن

$F = m\dfrac{dv}{dt} + v\dfrac{dm}{dt} = 0 + 5\times 0.1 = 0.5$ نيوتن.

الإجابة الصحيحة: $30$ نيوتن.ث

$\Delta p = \int_1^3(3t^2 + 2)\,dt = [t^3 + 2t]_1^3 = 33 - 3 = 30$.

الإجابة الصحيحة: $36$ كجم.م/ث

$\Delta v = [t^2 - 4t]_2^5 = 5 - (-4) = 9$ فـ $\Delta p = 4\times 9 = 36$ كجم.م/ث.

الإجابة الصحيحة: صواب

$\Delta v = \int a\,dt$ وهي المساحة تحت منحنى العجلة–الزمن.

الإجابة الصحيحة: $4$ م/ث²

نحوّل الكتلة إلى كيلوجرام: $m = 0.5$ فـ $a = \dfrac{2}{0.5} = 4$ م/ث².

الإجابة الصحيحة: $13$ م/ث

$v = 1 + \int_0^2 6t\,dt = 1 + 3t^2\Big|_0^2 = 1 + 12 = 13$ م/ث.

الإجابة الصحيحة: $(3, 2)$ م/ث²

المحصلة $(6, 4)$ فـ $\vec{a} = \dfrac{(6, 4)}{2} = (3, 2)$.

الإجابة الصحيحة: لا تساوي صفرًا

$F = m\dfrac{dv}{dt} + v\dfrac{dm}{dt} = v\dfrac{dm}{dt} \ne 0$.

$a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{6t + 2}{4} = 1.5t + 0.5$. بالتكامل مع $v(0) = 0$: $v = 0.75t^2 + 0.5t$ وعند $t = 2$: $v = 3 + 1 = 4$ م/ث. وبتكامل السرعة مع $x(0) = 0$: $x = 0.25t^3 + 0.25t^2$ وعند $t = 2$: $x = 2 + 1 = 3$ م.

من مبدأ الشغل والطاقة: $\dfrac{1}{2}m(v^2 - v_0^2) = \displaystyle\int_0^3(2x + 6)\,dx = [x^2 + 6x]_0^3 = 27$. أي $1.5\,(v^2 - 4) = 27$ فـ $v^2 - 4 = 18$ و$v^2 = 22$ ومنه $v \approx 4.69$ م/ث.

$\vec{v} = \dfrac{d\vec{r}}{dt} = 6t^2\hat{\imath} + 2t\hat{\jmath}$ و$\vec{a} = 12t\hat{\imath} + 2\hat{\jmath}$. القوة $\vec{F} = m\vec{a} = 36t\hat{\imath} + 6\hat{\jmath}$. عند $t = 1$: $\vec{F} = 36\hat{\imath} + 6\hat{\jmath}$ نيوتن ومعيارها $\sqrt{36^2 + 6^2} = \sqrt{1332} \approx 36.5$ نيوتن.

$p = mv = (2t + 1)t^2 = 2t^3 + t^2$ فـ $F = \dfrac{dp}{dt} = 6t^2 + 2t$ وعند $t = 1$: $F = 8$ نيوتن. أما $m\,a$ فـ $a = \dfrac{dv}{dt} = 2t = 2$ و$m = 3$ فـ $ma = 6$ نيوتن. الفرق $8 - 6 = 2$ نيوتن يساوي $v\dfrac{dm}{dt} = 1\times 2$، وينشأ من تغير الكتلة؛ لذا لا تكفي $F = ma$ عند تغير الكتلة.

$\Delta v = \displaystyle\int_1^3(3t^2 - 2t)\,dt = [t^3 - t^2]_1^3 = (27 - 9) - (1 - 1) = 18$ م/ث. وبما أن الكتلة ثابتة: $\Delta p = m\,\Delta v = 5\times 18 = 90$ كجم.م/ث.