أسئلة: تفاضل وتكامل الدوال المتجهة

الإجابة الصحيحة: مشتقة متجه الموضع بالنسبة للزمن

$\vec{v} = \dfrac{d\vec{x}}{dt}$ وهي ميل المماس لمنحنى الموضع–الزمن.

الإجابة الصحيحة: مشتقة السرعة بالنسبة للزمن

$\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^2\vec{x}}{dt^2}$.

الإجابة الصحيحة: $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v\,dt$

تكامل السرعة الجبرية يعطي الإزاحة، أما تكامل مقدارها $|v|$ فيعطي المسافة المقطوعة.

الإجابة الصحيحة: $8$ م

$v = 2t - 4$ تنعدم عند $t = 2$ حيث $x(2) = -4$. المسافة $|{-4} - 0| + |0 - (-4)| = 8$ م بينما الإزاحة $x(4) - x(0) = 0$.

الإجابة الصحيحة: $t = 2$ و$t = 4$

$v = 3t^2 - 18t + 24 = 3(t - 2)(t - 4)$.

الإجابة الصحيحة: $-6$ م/ث²

$a = \dfrac{dv}{dt} = 6t - 18$ فـ $a(2) = -6$ م/ث².

الإجابة الصحيحة: $4$ م/ث

$x(4) - x(0) = 64 - 144 + 96 = 16$ م فالسرعة المتوسطة $\dfrac{16}{4} = 4$ م/ث.

الإجابة الصحيحة: $6$ م/ث

يتحرك للأمام $20$ م ثم يرجع $4$ م فالمسافة $24$ م، ومتوسط مقدار السرعة $\dfrac{24}{4} = 6$ م/ث.

الإجابة الصحيحة: $1$ م/ث

$v = \int(4 - 6t)\,dt = 4t - 3t^2$ فـ $v(1) = 1$ م/ث.

الإجابة الصحيحة: $0$

$x = \int(4t - 3t^2)\,dt = 2t^2 - t^3$ فـ $x(2) = 8 - 8 = 0$ أي يعود إلى نقطة البدء.

الإجابة الصحيحة: متسارعة (يزداد مقدار السرعة)

$v\cdot a = (-2)(-3) = 6 > 0$ فالسرعة والعجلة في الاتجاه نفسه ويزداد مقدار السرعة.

الإجابة الصحيحة: $-6$

$a = v\dfrac{dv}{dx} = (4 - x^2)(-2x)$ وعند $x = 1$: $3\times(-2) = -6$.

الإجابة الصحيحة: $12x - 2x^2$

$\dfrac{v^2}{2} = \displaystyle\int_0^x(6 - 2x)\,dx = 6x - x^2$ فـ $v^2 = 12x - 2x^2$.

الإجابة الصحيحة: $44.1$ م

تنعدم السرعة عند $t = 3$ ث، وعندها $x = 88.2 - 44.1 = 44.1$ م.

الإجابة الصحيحة: $t = 1$ ث و$t = 5$ ث

$29.4t - 4.9t^2 = 24.5$ تعطي $t^2 - 6t + 5 = 0$ أي $t = 1$ أو $t = 5$.

الإجابة الصحيحة: صواب

السرعة اللحظية هي المشتقة $dx/dt$ وهي ميل المماس.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{52} \approx 7.2$ م/ث

$v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x = 16 + 2\times 3\times 6 = 52$ ومنها $v \approx 7.2$ م/ث.

$v = 6t^2 - 30t + 36 = 6(t - 2)(t - 3)$ فتنعدم عند $t = 2$ و$t = 3$. $a = 12t - 30$ فـ $a(2) = -6$ و$a(3) = 6$ م/ث². المواضع: $x(0) = 0$ و$x(2) = 16 - 60 + 72 = 28$ و$x(3) = 54 - 135 + 108 = 27$. السرعة موجبة في $(0, 2)$ وسالبة في $(2, 3)$ فيغير الجسم اتجاهه عند $t = 2$. المسافة $28 + (28 - 27) = 29$ م، والإزاحة $27 - 0 = 27$ م.

$v = \int(6 - 6t)\,dt = 6t - 3t^2$ (لأن $v(0) = 0$) و$x = \int v\,dt = 3t^2 - t^3$ (لأن $x(0) = 0$). تنعدم السرعة عند $t = 2$ ث وتتغير إشارتها فيعكس الجسم اتجاهه، وعندها $x(2) = 12 - 8 = 4$ م. يعود إلى نقطة البدء عندما $x = 0$ أي $3t^2 - t^3 = 0$ فـ $t = 3$ ث. المسافة الكلية $= 4 + 4 = 8$ م.

$a = v\dfrac{dv}{dx} = (3x)(3) = 9x$. عند $x = 2$: $a = 18$ م/ث². السرعة $v = 3x = 6$ م/ث موجبة والعجلة موجبة فحاصل ضربهما موجب، أي أن الحركة متسارعة.

$\dfrac{v^2}{2} = \displaystyle\int_0^x (12 - 3x)\,dx = 12x - \dfrac{3}{2}x^2$ ومنها $v^2 = 24x - 3x^2$. تبلغ السرعة قيمتها العظمى عندما $a = 0$ أي $x = 4$ م: $v^2 = 96 - 48 = 48$ و$v = 4\sqrt{3} \approx 6.93$ م/ث. وتنعدم السرعة عندما $24x - 3x^2 = 0$ أي $x = 0$ أو $x = 8$ م فيسكن لحظيًا عند $x = 8$ م ثم يعود.

المسافة = المساحة تحت المنحنى $= \dfrac{1}{2}\times 2\times 6 + 3\times 6 + \dfrac{1}{2}\times 2\times 6 = 6 + 18 + 6 = 30$ م. متوسط مقدار السرعة $= \dfrac{30}{7} \approx 4.29$ م/ث. العجلة هي ميل الخط: في أول مرحلة $\dfrac{6}{2} = 3$ م/ث²، في الثانية $0$، وفي الثالثة $\dfrac{0 - 6}{2} = -3$ م/ث².