أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أثرت قوة $50$ نيوتن في جسم لمدة $0.02$ ثانية. أوجد دفع القوة.

الحل: $I = Ft = 50 \times 0.02 = 1$ نيوتن.ثانية. وإذا أُعطيت القوة $25$ ث كجم لمدة $0.1$ ث فإن $I = 25 \times 9.8 \times 0.1 = 24.5$ نيوتن.ثانية.

مثال 2 (قوة متغيرة): أثرت قوة $F = 3t^2 + 2$ نيوتن في جسم من $t = 1$ إلى $t = 3$ ثانية. أوجد دفعها.

الحل: $I = \displaystyle\int_1^3 (3t^2 + 2)\,dt = \left[t^3 + 2t\right]_1^3 = (27 + 6) - (1 + 2) = 30$ نيوتن.ثانية.

مثال 3 (من المنحنى): في الشكل: قوة $20$ نيوتن لمدة ثانيتين ثم تتناقص خطيًا إلى الصفر عند $t = 6$ ثانية. أوجد دفعها، وسرعة جسم كتلته $10$ كجم يبدأ من السكون.

الحل: المساحة $= 20 \times 2 + \dfrac{1}{2} \times 4 \times 20 = 40 + 40 = 80$ نيوتن.ثانية. من $I = m(v - 0)$: $v = \dfrac{80}{10} = 8$ م/ث.

مثال 4 (حائط): كرة كتلتها $0.5$ كجم ارتطمت بحائط رأسي بسرعة أفقية $10$ م/ث وارتدت بسرعة $6$ م/ث، وكان زمن التلامس $0.02$ ثانية. أوجد دفع الحائط للكرة ومتوسط القوة التي تضغط بها الكرة على الحائط.

الحل: نأخذ اتجاه الارتداد موجبًا: $I = m(v_2 - v_1) = 0.5[6 - (-10)] = 8$ نيوتن.ثانية. القوة $F = \dfrac{8}{0.02} = 400$ نيوتن، وهي ضغط الكرة على الحائط.

مثال 5 (الأرض): كرة كتلتها $0.3$ كجم سقطت من ارتفاع $5$ م وارتدت إلى ارتفاع $1.25$ م، وكان زمن التلامس مع الأرض $0.05$ ثانية. أوجد دفع الأرض ورد فعلها على الكرة.

الحل: سرعة الاصطدام $v_1 = \sqrt{2 \times 9.8 \times 5} = \sqrt{98} \approx 9.90$ م/ث لأسفل، وسرعة الارتداد $v_2 = \sqrt{2 \times 9.8 \times 1.25} = \sqrt{24.5} \approx 4.95$ م/ث لأعلى. الدفع $I = 0.3(4.95 + 9.90) \approx 4.455$ نيوتن.ثانية. القوة الدفعية $F = \dfrac{4.455}{0.05} \approx 89.1$ نيوتن، ورد فعل الأرض $= 89.1 + 0.3 \times 9.8 \approx 92.0$ نيوتن.

مثال 6 (بالمتجهات): أثرت قوتان $\vec{F}_1 = 3\hat{\imath} + 2\hat{\jmath}$ و$\vec{F}_2 = -\hat{\imath} + 4\hat{\jmath}$ نيوتن في جسم لمدة $5$ ثوانٍ. أوجد معيار دفع محصلتهما. وإذا كانت كتلة الجسم $2$ كجم وسرعته الابتدائية $3\hat{\imath} - 4\hat{\jmath}$ م/ث، فأوجد سرعته النهائية.

الحل: المحصلة $2\hat{\imath} + 6\hat{\jmath}$ فالدفع $\vec{I} = 5(2\hat{\imath} + 6\hat{\jmath}) = 10\hat{\imath} + 30\hat{\jmath}$ ومعياره $\sqrt{100 + 900} = 10\sqrt{10} \approx 31.6$ نيوتن.ثانية. $\vec{v}_2 = \vec{v}_1 + \dfrac{\vec{I}}{m} = (3 + 5)\hat{\imath} + (-4 + 15)\hat{\jmath} = 8\hat{\imath} + 11\hat{\jmath}$ م/ث.