ملخص القدرة — ثالثة ثانوي

مقدمة

المادة: تطبيقات الرياضيات (الميكانيكا)
الشعبة: علمي رياضة
الوحدة: الوحدة الثالثة: الشغل والطاقة والقدرة

آلتان ترفعان الحمل نفسه إلى الارتفاع نفسه، لكن إحداهما تنجز العمل في دقيقة والأخرى في أربع دقائق. أيهما «أقدر»؟ من حيث الشغل المبذول هما متساويتان، لكن الأسرع هي الأقدر. لذلك لا يكفي أن نعرف الشغل؛ نحتاج إلى معدل بذله في الزمن، وهو ما نسميه القدرة.

أهداف التعلم

تعرّف القدرة وتحسب القدرة المتوسطة واللحظية.
تستنتج العلاقة $P = \vec{F}\cdot\vec{v}$ وتطبقها.
تستخدم وحدات القدرة وتحوّل بينها: الوات وثقل كجم.متر/ث والحصان.
تحسب قدرة محرك مركبة على طريق أفقي أو منحدر بسرعة منتظمة.
تحسب الشغل من دالة قدرة متغيرة بالتكامل.

شرح الدرس

مفهوم القدرة

القدرة هي المعدل الزمني لبذل الشغل، أي الشغل المبذول في وحدة الزمن:

P = \frac{dW}{dt}

وهي تتعين لحظيًا (عند لحظة معينة) خلافًا للشغل الذي يُحسب بين لحظتين.

القدرة المتوسطة

إذا بُذل شغل $\Delta W$ خلال فترة زمنية $\Delta t$ فإن القدرة المتوسطة $P_{avg} = \dfrac{\Delta W}{\Delta t}$ . وإذا كان معدل بذل الشغل منتظمًا فإن القدرة $=\dfrac{F \times d}{t}$ .

القدرة اللحظية $P = \vec{F}\cdot\vec{v}$

لأن $dW = \vec{F}\cdot d\vec{r}$ فإن:

P = \frac{dW}{dt} = \vec{F}\cdot\frac{d\vec{r}}{dt} = \vec{F}\cdot\vec{v}

وإذا كانت $\vec{F}$ و $\vec{v}$ في الاتجاه نفسه فإن $P = F\,v$ . فعند ثبات القوة تتناسب القدرة طرديًا مع السرعة، وتبلغ أقصى قدرة عندما تبلغ السرعة أقصى قيمة. وإذا عُلمت القدرة بدلالة الزمن فالشغل: $W = \int_{t_1}^{t_2} P\,dt$ .

وحدات القدرة

وحدة القدرة = وحدة الشغل ÷ وحدة الزمن = وحدة القوة × وحدة السرعة:

الوات (W) = جول/ث = نيوتن.م/ث. و $1$ كيلووات $= 1000$ وات.
ثقل كجم.متر/ثانية (ث كجم.م/ث): $1$ ث كجم.م/ث $= 9.8$ وات.
الإرج/ثانية: $1$ وات $= 10^7$ إرج/ث.
الحصان: قدرة آلة تبذل شغلًا قدره $75$ ث كجم.م كل ثانية، فـ $1$ حصان $= 75$ ث كجم.م/ث $= 735$ وات $= 0.735$ كيلووات.

مركبة على طريق منحدر

عندما تتحرك مركبة كتلتها $m$ بسرعة منتظمة $v$ على طريق منحدر جيب زاوية ميله $\sin\theta$ :

صاعدة: قوة المحرك $F = R + mg\sin\theta$ حيث $R$ المقاومة، فالقدرة $P = F\,v$ .
هابطة: $F + mg\sin\theta = R$ أي $F = R - mg\sin\theta$ .

(وإذا كانت $mg\sin\theta > R$ فلا بد من فرملة وإلا تزايدت السرعة.)

سيارة تصعد منحدرًا بسرعة منتظمة تحت قوة المحرك والمقاومة ومركبة الوزن

تعريفات

القدرة: المعدل الزمني لبذل الشغل، $P = dW/dt$ .
القدرة اللحظية: $P = \vec{F}\cdot\vec{v}$ عند لحظة معينة.
الوات: قدرة قوة تبذل شغلًا قدره جول واحد في الثانية.
الحصان: قدرة آلة تبذل شغلًا $75$ ث كجم.م في الثانية الواحدة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: يرفع شخص حقيبة كتلتها $20$ كجم مسافة $3$ م في $5$ ثوانٍ. أوجد قدرته المتوسطة.

الحل: الشغل $20 \times 9.8 \times 3 = 588$ جول، فالقدرة $\dfrac{588}{5} = 117.6$ وات.

مثال 2: تجر قوة محرك مقدارها $2000$ نيوتن سيارة بسرعة $25$ م/ث. أوجد قدرتها بالوات وبالحصان.

الحل: $P = Fv = 2000 \times 25 = 50000$ وات $= 50$ كيلووات، وبالحصان $\dfrac{50000}{735} \approx 68$ حصانًا.

مثال 3 (طريق أفقي): سيارة كتلتها $1.5$ طن تتحرك على طريق أفقي بسرعة منتظمة $72$ كم/س ضد مقاومات تعادل $40$ ث كجم لكل طن. أوجد قدرتها بالحصان.

الحل: السرعة $72 \times \dfrac{5}{18} = 20$ م/ث. المقاومة $1.5 \times 40 = 60$ ث كجم، وبسرعة منتظمة تساويها قوة المحرك. $P = 60 \times 20 = 1200$ ث كجم.م/ث $= \dfrac{1200}{75} = 16$ حصانًا.

مثال 4 (منحدر): شاحنة كتلتها $8$ أطنان تتحرك بسرعة منتظمة $36$ كم/س على طريق مائل جيب زاوية ميله $\dfrac{1}{40}$ ، والمقاومة $30$ ث كجم لكل طن. أوجد قدرة المحرك بالحصان في حالتي الصعود والهبوط.

الحل: السرعة $10$ م/ث، المقاومة $8 \times 30 = 240$ ث كجم، ومركبة الوزن $8000 \times \dfrac{1}{40} = 200$ ث كجم. صعودًا: $F = 240 + 200 = 440$ ث كجم فالقدرة $\dfrac{440 \times 10}{75} \approx 58.7$ حصانًا. هبوطًا: $F = 240 - 200 = 40$ ث كجم فالقدرة $\dfrac{40 \times 10}{75} \approx 5.3$ حصان.

مثال 5 (أقصى سرعة): تبلغ قدرة محرك سيارة $60$ كيلووات ومقاومة الحركة ثابتة $1500$ نيوتن. ما أقصى سرعة تبلغها؟

الحل: أقصى سرعة عندما تتساوى قوة المحرك والمقاومة: $v = \dfrac{P}{F} = \dfrac{60000}{1500} = 40$ م/ث $= 144$ كم/س.

مثال 6 (بالمتجهات): تؤثر قوة ثابتة $\vec{F} = 3\hat{\imath} + 4\hat{\jmath}$ نيوتن في جسم يتحرك بتأثير قوى أخرى أيضًا، ومتجه موضعه $\vec{r} = 2t^2\hat{\imath} + t^3\hat{\jmath}$ متر. أوجد قدرة القوة $\vec{F}$ عند $t = 1$ .

الحل: $\vec{v} = 4t\hat{\imath} + 3t^2\hat{\jmath}$ ، فـ $P = \vec{F}\cdot\vec{v} = 12t + 12t^2$ وعند $t = 1$ : $P = 24$ وات.

مثال 7 (التكامل): إذا كانت قدرة آلة عند أي لحظة $P = 6t + 4$ وات، فأوجد الشغل المبذول في الثواني الثلاث الأولى.

الحل: $W = \displaystyle\int_0^3 (6t + 4)\,dt = \left[3t^2 + 4t\right]_0^3 = 27 + 12 = 39$ جول.

مثال 8: عامل يحمّل صناديق كتلة الواحد $20$ كجم على شاحنة ارتفاعها $1.2$ م، وقدرته المتوسطة $0.4$ حصان. كم صندوقًا يحمّل في دقيقة؟

الحل: الشغل لكل صندوق $20 \times 9.8 \times 1.2 = 235.2$ جول. الشغل في دقيقة $0.4 \times 735 \times 60 = 17640$ جول. العدد $\dfrac{17640}{235.2} = 75$ صندوقًا.

ملاحظات مهمة

القدرة تُحسب لحظيًا بالقوة × السرعة، بينما الشغل يحتاج فترة زمنية.
عندما تكون السرعة منتظمة تتساوى قوة المحرك مع مجموع المقاومات (ومركبة الوزن عند الصعود).
لا تخلط بين الحصان ( $75$ ث كجم.م/ث) والوات؛ حوّل أحدهما إلى الآخر: $1$ حصان $= 735$ وات.
عند الطلب بالحصان اجعل القوة بالثقل كيلوجرام والسرعة بالمتر/ثانية ثم اقسم على $75$ .

المفاهيم الأساسية

$P = \dfrac{dW}{dt}$ ، والقدرة المتوسطة $\dfrac{\Delta W}{\Delta t}$ .
$P = \vec{F}\cdot\vec{v}$ وللاتجاه الواحد $P = Fv$ .
$1$ حصان $= 75$ ث كجم.م/ث $= 735$ وات، و $1$ ث كجم.م/ث $= 9.8$ وات.
بسرعة منتظمة على منحدر: صاعدًا $F = R + mg\sin\theta$ ، هابطًا $F = R - mg\sin\theta$ .
$W = \int P\,dt$ .

ملخص الدرس

القدرة هي معدل بذل الشغل. نحسب قدرتها المتوسطة من الشغل مقسومًا على الزمن، ولحظتها من حاصل الضرب القياسي للقوة في السرعة. وتتحدد أقصى سرعة لمركبة عندما تتساوى قوة محركها مع المقاومات. ونستخدم الوات والحصان، ونحصل على الشغل من قدرة متغيرة بتكاملها بالنسبة للزمن.

أسئلة للتدريب

أوجد قدرة محرك يرفع حملًا وزنه $500$ نيوتن بسرعة منتظمة $2$ م/ث بالوات.
سيارة تسير بسرعة منتظمة $54$ كم/س على طريق أفقي ضد مقاومة $200$ ث كجم. أوجد قدرتها بالحصان.
إذا كانت قدرة آلة $P = 3t^2$ وات فأوجد الشغل المبذول من $t = 0$ إلى $t = 4$ ثوانٍ.
لماذا يحتاج محرك السيارة إلى قدرة أكبر عند الصعود منه عند الهبوط بالسرعة نفسها؟