ملخص متطلبات الديناميكا: كمية الحركة وقوانين نيوتن — ثالثة ثانوي

مقدمة

المادة: تطبيقات الرياضيات (الميكانيكا)
الشعبة: علمي رياضة
الوحدة: متطلبات قبلية في الديناميكا

لماذا يصعب إيقاف قطار سريع، ولماذا يتحمل الراكب في الحافلة اندفاعًا للأمام عند الفرملة المفاجئة؟ ولماذا تُحدث الكرة نفسها أثرًا أكبر حين تكون أسرع؟ هذه أسئلة الديناميكا، التي تربط بين حركة الجسم والقوى المؤثرة فيه. وقبل أن نتوسع فيها بالتفاضل والتكامل نراجع الأفكار الأساسية: كمية الحركة وقوانين نيوتن. وهذه المراجعة لا يُمتحن فيها الطالب مباشرة.

أهداف التعلم

تحسب كمية حركة جسم والتغير فيها، وتحدد وحدتها.
تنص على قوانين نيوتن الثلاثة وتفسّر القصور الذاتي.
تكتب معادلة الحركة $F = ma$ لجسم ثابت الكتلة وتستخدم وحداتها.
تفرّق بين الكتلة والوزن، وبين وحدات القوة المطلقة والتثاقلية.
تطبق ما سبق على أجسام تتحرك على مستوى مائل أملس أو خشن.

شرح الدرس

كمية الحركة

كمية حركة جسم كتلته $m$ يتحرك بسرعة $\vec{v}$ هي كمية متجهة في اتجاه السرعة:

\vec{p} = m\vec{v}

وفي الحركة الخطية يكفي القياس الجبري $p = mv$ . ووحدتها في النظام الدولي كجم.م/ث، وتساوي النيوتن.ثانية. وعند ثبات الكتلة تتناسب كمية الحركة طرديًا مع السرعة.

التغير في كمية الحركة بين لحظتين متتاليتين سرعتاهما $\vec{v}_1$ و $\vec{v}_2$ هو:

\Delta\vec{p} = m(\vec{v}_2 - \vec{v}_1)

قوانين نيوتن

القانون الأول: يبقى الجسم الساكن ساكنًا، والمتحرك بسرعة منتظمة في خط مستقيم متحركًا هكذا، ما لم تؤثر فيه قوة خارجية تغير حالته. أي أن حالة السكون وحالة الحركة المنتظمة متكافئتان، وتعنيان أن محصلة القوى صفر. ويسمى قانون القصور الذاتي.
القانون الثاني: معدل تغير كمية الحركة يتناسب مع القوة المحدثة له ويحدث في اتجاهها: $\vec{F} = \dfrac{d(m\vec{v})}{dt}$ . وللكتلة الثابتة تؤول إلى معادلة الحركة:

\vec{F} = m\vec{a}

القانون الثالث: لكل فعل رد فعل مساوٍ له في المقدار ومضاد في الاتجاه، ويؤثران في جسمين مختلفين.

وحدات القوة والكتلة والوزن

تُستخدم الوحدات المطلقة حتى يكون ثابت التناسب في $F = ma$ مساويًا الواحد:

النيوتن: القوة التي تكسب كتلة $1$ كجم عجلة $1$ م/ث².
الداين: القوة التي تكسب كتلة $1$ جم عجلة $1$ سم/ث². ( $1$ نيوتن $= 10^5$ داين.)

أما الوزن فقوة جذب الأرض للجسم: $W = mg$ حيث $g = 9.8$ م/ث². وتُقاس الأوزان أيضًا بوحدات الثقل: $1$ ث كجم $= 9.8$ نيوتن و $1$ ث جم $= 980$ داين. فجسم كتلته $5$ كجم وزنه $49$ نيوتن أو $5$ ث كجم. الكتلة ثابتة لا تتغير بالمكان، أما الوزن فيتغير بتغير $g$ .

حركة جسم على مستوى مائل

لجسم كتلته $m$ يتحرك على مستوى يميل بزاوية $\theta$ على الأفقي: مركبة الوزن في اتجاه المستوى $mg\sin\theta$ ، وعموديًا عليه $mg\cos\theta = N$ . فإذا انزلق الجسم لأسفل:

مستوى أملس: $ma = mg\sin\theta$ ومنها $a = g\sin\theta$ .
مستوى خشن: $ma = mg\sin\theta - \mu_k N$ ومنها $a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$ .

جسم ينزلق على مستوى مائل خشن بقوى الوزن ومركبتيه ورد الفعل والاحتكاك الحركي والعجلة

تعريفات

كمية الحركة: حاصل ضرب كتلة الجسم في متجه سرعته.
القصور الذاتي: عجز الجسم عن تغيير حالته من تلقاء نفسه.
القوة: المؤثر الذي يغيّر أو يعمل على تغيير حالة الجسم من سكون أو حركة منتظمة.
الوزن: قوة جذب الأرض للجسم، $W = mg$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: احسب كمية حركة سيارة كتلتها $1200$ كجم تتحرك بسرعة ثابتة $15$ م/ث.

الحل: $p = mv = 1200 \times 15 = 18000$ كجم.م/ث.

مثال 2: جسم كتلته $2$ كجم يتحرك في خط مستقيم بحيث إزاحته $s = (2t^2 - 3t + 1)\,\hat{\imath}$ متر. أوجد كمية حركته عند بدء الحركة وعند $t = 2$ ثانية.

الحل: $v = \dfrac{ds}{dt} = (4t - 3)\hat{\imath}$ . عند $t = 0$ : $v = -3$ فـ $p = -6$ كجم.م/ث (أي بمعيار $6$ في عكس اتجاه $\hat{\imath}$ ). عند $t = 2$ : $v = 5$ فـ $p = 10$ كجم.م/ث.

مثال 3: كرة كتلتها $0.2$ كجم ارتطمت بحائط رأسي بسرعة $12$ م/ث وارتدت عنه بسرعة $8$ م/ث. أوجد مقدار التغير في كمية حركتها.

الحل: نأخذ الاتجاه الموجب هو اتجاه الارتداد: $\Delta p = 0.2\,[8 - (-12)] = 4$ كجم.م/ث.

مثال 4: قوة محصلة $30$ نيوتن تؤثر في جسم كتلته $6$ كجم يبدأ من السكون. أوجد العجلة وسرعته بعد $4$ ثوانٍ والمسافة المقطوعة.

الحل: $a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{30}{6} = 5$ م/ث². $v = at = 20$ م/ث، $s = \dfrac{1}{2}at^2 = \dfrac{1}{2}(5)(16) = 40$ م.

مثال 5: ينزلق جسم من السكون على مستوى خشن جيب زاوية ميله $\dfrac{3}{5}$ ومعامل الاحتكاك الحركي $0.25$ . أوجد عجلته وسرعته بعد أن يقطع $5$ أمتار.

الحل: $\sin\theta = 0.6$ و $\cos\theta = 0.8$ ، فـ $a = 9.8\,(0.6 - 0.25 \times 0.8) = 9.8 \times 0.4 = 3.92$ م/ث². ومن $v^2 = 2as = 2 \times 3.92 \times 5 = 39.2$ تكون $v \approx 6.26$ م/ث.

مثال 6: تتناسب مقاومة الهواء لسيارة مع مربع سرعتها. إذا كانت المقاومة $50$ ث كجم عند سرعة $36$ كم/س، فما أقصى سرعة تبلغها السيارة إذا كانت قوة محركها ثابتة $200$ ث كجم؟

الحل: تبلغ السيارة أقصى سرعة عندما تتساوى قوة المحرك والمقاومة. من $\dfrac{R_2}{R_1} = \dfrac{v_2^2}{v_1^2}$ : $\dfrac{200}{50} = \dfrac{v_2^2}{36^2}$ فـ $v_2^2 = 4 \times 36^2$ و $v_2 = 72$ كم/س.

ملاحظات مهمة

عند تطبيق $F = ma$ بوحدات مطلقة يجب أن تكون الكتلة بالكيلوجرام (أو الجرام) والقوة بالنيوتن (أو الداين). إذا أُعطيت القوة بالثقل كيلوجرام فاضرب في $9.8$ أولًا.
قوتا الفعل ورد الفعل تؤثران في جسمين مختلفين فلا تتزنان معًا على جسم واحد.
حول $72$ كم/س إلى م/ث بالضرب في $\dfrac{5}{18}$ ، فتصبح $20$ م/ث.
في المستوى المائل لا يساوي رد الفعل العمودي وزن الجسم، بل $mg\cos\theta$ فقط ما لم تؤثر قوى أخرى.

المفاهيم الأساسية

$\vec{p} = m\vec{v}$ ، $\Delta\vec{p} = m(\vec{v}_2 - \vec{v}_1)$ .
القانون الثاني: $\vec{F} = \dfrac{d(m\vec{v})}{dt}$ وللكتلة الثابتة $\vec{F} = m\vec{a}$ .
$1$ ث كجم $= 9.8$ نيوتن و $1$ ث جم $= 980$ داين و $W = mg$ .
على مستوى مائل خشن: $a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$ عند الانزلاق لأسفل.

ملخص الدرس

كمية الحركة $m\vec{v}$ تصف مقدار «الاندفاع» الذي يحمله الجسم، وتغيرها يحدده القانون الثاني لنيوتن: القوة تساوي معدل تغير كمية الحركة. وللكتلة الثابتة تُختصر المعادلة إلى $F = ma$ بوحدات مطلقة، ويُميَّز الوزن عن الكتلة بالعجلة $g$ . وعلى المستوى المائل نحلل الوزن إلى مركبتين ونطبق المعادلة على الاتجاه الذي تتحرك فيه الكتلة.

أسئلة للتدريب

احسب كمية حركة جسم كتلته $500$ جم يتحرك بسرعة $8$ م/ث بوحدة كجم.م/ث.
أثرت قوة $12$ نيوتن في جسم كتلته $3$ كجم. ما عجلته؟ وما سرعته بعد $5$ ثوانٍ من السكون؟
ما وزن جسم كتلته $2$ كجم بوحدات: النيوتن، ث كجم، والداين؟
جسم ينزلق من السكون على مستوى أملس يميل $30^\circ$ . أوجد سرعته بعد أن يقطع $10$ أمتار.