ملخص محصلة القوى المتوازية المستوية — ثالثة ثانوي

مقدمة

المادة: تطبيقات الرياضيات (الميكانيكا)
الشعبة: علمي رياضة
الوحدة: الوحدة الثانية: القوى المستوية

حين يحمل عاملان لوحًا خشبيًا طويلًا يرفع كل منهما أحد طرفيه، فإن القوتين اللتين يبذلانهما متوازيتان ولا تتلاقيان في نقطة. فأين نضع حامل اللوح لو أردنا استبدال العاملين بحامل واحد؟ وما مقدار القوة التي يتحملها؟ تجيب هذه الوحدة عن مثل هذه الأسئلة بإيجاد محصلة القوى المتوازية وتحديد نقطة تأثيرها اعتمادًا على فكرة العزوم.

أهداف التعلم

تحدد مقدار واتجاه ونقطة تأثير محصلة قوتين متوازيتين في اتجاه واحد أو في اتجاهين متضادين.
تعيّن إحدى قوتين متوازيتين إذا علمت الأخرى والمحصلة.
تحسب مجموع عزوم قوى متوازية مستوية حول نقطة وتربطه بعزم المحصلة.
تحدد محصلة عدة قوى متوازية مستوية ونقطة تأثيرها.

شرح الدرس

محصلة قوتين متوازيتين في الاتجاه نفسه

لتكن $\vec{F}_1$ و $\vec{F}_2$ قوتين متوازيتين في الاتجاه نفسه تؤثران في النقطتين $A$ و $B$ من جسم متماسك. المحصلة $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ في اتجاه القوتين، ومعيارها يساوي مجموع معياريهما، وتؤثر في نقطة $C$ تقع على القطعة $\overline{AB}$ من الداخل وتقسمها بنسبة عكسية لمعياري القوتين:

F_1 \times AC = F_2 \times BC

فالمحصلة أقرب إلى القوة الأكبر. وإذا تساوت القوتان وقعت $C$ في منتصف $\overline{AB}$ .

محصلة قوتين متوازيتين في اتجاهين متضادين

إذا كانت القوتان غير متساويتين ومتضادتين ( $F_1 > F_2$ ) فإن المحصلة تعمل في اتجاه القوة الأكبر، ومعيارها $F_1 - F_2$ ، وتؤثر في نقطة $C$ تقع على $\overleftrightarrow{AB}$ من الخارج وفي جهة القوة الأكبر، وتحقق:

F_1 \times CA = F_2 \times CB

أما إذا تساوى المعياران في اتجاهين متضادين فلا محصلة لهما، وسيُسمى هذا النظام ازدواجًا في الوحدة التالية.

محصلة قوتين متوازيتين في الاتجاه نفسه وفي اتجاهين متضادين مع موضع نقطة تأثير المحصلة

لماذا هذه العلاقة صحيحة؟

نستخدم مجموع العزوم: عزم المحصلة بالنسبة لأي نقطة يساوي مجموع عزمي القوتين بالنسبة للنقطة نفسها. وبأخذ النقطة $C$ نفسها يكون عزم المحصلة حولها صفرًا لأن خط عملها يمر بها، فيجب أن يكون مجموع عزمي $\vec{F}_1$ و $\vec{F}_2$ حولها صفرًا أيضًا؛ أي أن عزميهما متساويان في المقدار ومتضادان في الاتجاه، وهذا يعطي $F_1 \times AC = F_2 \times BC$ . وفي الحالتين (قوتان متفقتان تقع $C$ بينهما، أو متضادتان تقع $C$ خارجهما) تتضاد جهتا الدوران حول $C$ فيصح الاستنتاج نفسه.

عدة قوى متوازية مستوية

نختار اتجاهًا موجبًا للقوى ونجمع جبريًا للحصول على المحصلة $R = \sum F$ . ولإيجاد خط عملها نفرض أنه يبعد $x$ عن نقطة مرجعية $A$ ونكتب:

R \times x = \sum M_A

أي أن عزم المحصلة حول $A$ يساوي مجموع عزوم القوى حولها. وإذا كان $R = 0$ ومجموع العزوم لا يساوي صفرًا فالمجموعة تكافئ ازدواجًا.

إيجاد نقطة التأثير بالإحداثيات

إذا كانت القوتان المتوازيتان في اتجاه واحد معيارهما $F_1$ و $F_2$ وتؤثران في نقطتين متجها موضعيهما $\vec{A}$ و $\vec{B}$ فإن نقطة تأثير المحصلة:

\vec{C} = \frac{F_1\vec{A} + F_2\vec{B}}{F_1 + F_2}

تعريفات

القوى المتوازية المستوية: قوى خطوط عملها متوازية وتقع في مستوى واحد.
المحصلة: قوة واحدة تحدث الأثر نفسه الذي تحدثه القوى المعطاة.
نقطة تأثير المحصلة: نقطة تقاطع خط عمل المحصلة مع القطعة الواصلة بين القوتين.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: قوتان متوازيتان في الاتجاه نفسه، $12$ و $18$ نيوتن، تؤثران في $A$ و $B$ حيث $AB = 50$ سم. أوجد مقدار محصلتهما وموضع تأثيرها.

الحل: $R = 12 + 18 = 30$ نيوتن. من $12 \times AC = 18 \times BC$ مع $AC + BC = 50$ : $12\,AC = 18(50 - AC)$ ، فـ $30\,AC = 900$ و $AC = 30$ سم و $BC = 20$ سم. المحصلة $30$ نيوتن تؤثر عند نقطة تبعد $30$ سم عن $A$ .

مثال 2: قوتان متوازيتان متضادتان $25$ نيوتن في $A$ و $10$ نيوتن في $B$ ، والمسافة $AB = 30$ سم. أوجد المحصلة.

الحل: $R = 25 - 10 = 15$ نيوتن في اتجاه القوة الأكبر. تقع $C$ خارج $\overline{AB}$ من جهة $A$ ، وبفرض $CA = x$ يكون $CB = x + 30$ : $25x = 10(x + 30)$ فـ $15x = 300$ و $x = 20$ سم. المحصلة $15$ نيوتن تؤثر عند نقطة تبعد $20$ سم عن $A$ في الجهة المضادة لـ $B$ .

مثال 3 (قوة مجهولة): قوتان متوازيتان إحداهما $20$ نيوتن تؤثر في $A$ ، ومحصلتهما $30$ نيوتن، والبعد بين خطي عمليهما $15$ سم. أوجد القوة الثانية وموضعها إذا كانتا: (أ) في اتجاه واحد، (ب) متضادتين.

الحل: (أ) القوة الثانية $30 - 20 = 10$ نيوتن، وتحقق $20 \times AC = 10 \times BC$ و $AC + BC = 15$ فتكون $AC = 5$ سم والمحصلة عند $5$ سم من $A$ . (ب) في اتجاهين متضادين يجب أن تكون المحصلة في اتجاه القوة الكبرى فتكون الثانية أكبر: $F_2 - 20 = 30$ فـ $F_2 = 50$ نيوتن، وتقع $C$ خارج $\overline{AB}$ من جهة $B$ : $20 \times CA = 50 \times CB$ و $CA = CB + 15$ ، فـ $20\,CB + 300 = 50\,CB$ و $CB = 10$ سم.

مثال 4 (عدة قوى): على قضيب أفقي تؤثر قوى رأسية: $4$ نيوتن لأعلى في $A$ ، و $6$ نيوتن لأعلى في $B$ على بعد $3$ م منها، و $2$ نيوتن لأسفل في $C$ على بعد $5$ م من $A$ . أوجد المحصلة.

الحل: $R = 4 + 6 - 2 = 8$ نيوتن لأعلى. مجموع العزوم حول $A$ (عزم قوة لأعلى على يمين $A$ موجب، وعزم قوة لأسفل سالب): $6 \times 3 - 2 \times 5 = 8$ ، فيكون $8x = 8$ و $x = 1$ م. المحصلة $8$ نيوتن لأعلى على بعد متر واحد من $A$ .

مثال 5: قوتان متوازيتان في اتجاه واحد، $2$ نيوتن تؤثر في $A(1, 3)$ و $6$ نيوتن تؤثر في $B(5, 7)$ . أوجد محصلتهما ونقطة تأثيرها.

الحل: $R = 8$ نيوتن، و $\vec{C} = \dfrac{2(1, 3) + 6(5, 7)}{8} = \dfrac{(32, 48)}{8} = (4, 6)$ . فالمحصلة تؤثر في $C(4, 6)$ .

ملاحظات مهمة

إذا اتفقت القوتان في الاتجاه فنقطة تأثير المحصلة بينهما، وإذا تضادتا فهي خارجهما وأقرب إلى القوة الأكبر.
إذا تحركت إحدى القوتين $F_2$ مسافة $s$ موازيةً لنفسها في اتجاه $\overrightarrow{AB}$ فإن نقطة تأثير المحصلة تتحرك في الاتجاه نفسه مسافة $\dfrac{F_2}{F_1 + F_2}\,s$ .
عند جمع القوى المتوازية اجعل الإشارة موجبة لاتجاه واحد (مثلًا لأعلى) وسالبة للاتجاه المضاد.
في مسائل العزوم اختر نقطة تمر بها قوة مجهولة لتحذف عزمها.

المفاهيم الأساسية

قوتان متوازيتان في اتجاه واحد: $R = F_1 + F_2$ و $F_1\times AC = F_2\times BC$ (من الداخل).
قوتان متوازيتان متضادتان: $R = |F_1 - F_2|$ في اتجاه الأكبر و $F_1\times CA = F_2\times CB$ (من الخارج).
عدة قوى متوازية: $R = \sum F$ و $R\times x = \sum M_A$ .
إذا كان $R = 0$ ومجموع العزوم لا يساوي صفرًا فالمجموعة ازدواج.

ملخص الدرس

يمكن استبدال قوتين متوازيتين بمحصلة واحدة تساوي مجموعهما جبريًا، وتحدد نقطة تأثيرها بمساواة عزم المحصلة بمجموع عزمي القوتين. تقع المحصلة بين القوتين وبنسبة عكسية لمعياريهما إذا اتفقتا في الاتجاه، وتقع خارجهما من جهة الأكبر إذا تضادتا. ويمتد المبدأ إلى أي عدد من القوى المتوازية المستوية.

أسئلة للتدريب

قوتان متوازيتان في اتجاه واحد $7$ و $13$ نيوتن، والمسافة بينهما $40$ سم. أوجد المحصلة وبُعدها عن القوة الصغرى.
قوتان متوازيتان متضادتان $9$ و $5$ نيوتن والبعد بين خطي عمليهما $12$ سم. أوجد مقدار المحصلة وبعدها عن القوة الصغرى.
متى تقع نقطة تأثير محصلة قوتين متوازيتين في منتصف القطعة الواصلة بينهما؟
أثرت القوى $3$ و $5$ و $2$ نيوتن رأسيًا لأعلى في ثلاث نقاط متتالية على قضيب تبعد كل منها $1$ م عن التالية. أوجد نقطة تأثير المحصلة.