ملخص تحليل البيانات (3): التباين والانحراف المعياري — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة العاشرة: تحليل البيانات — الموضوع 10-4

فصلان متوسط درجاتهما 70. في الأول كل الطلاب حصلوا على درجات بين 65 و75، وفي الثاني بعضهم حصل على 30 وبعضهم على 100. المتوسط وحده لا يكشف هذا الفرق! نحتاج إلى مقياس يخبرنا كم تبتعد البيانات عن متوسطها، وهذا هو التباين والانحراف المعياري.

أهداف التعلم

أن تحسب الانحراف لكل قيمة عن المتوسط.
أن تحسب التباين والانحراف المعياري بخطوات منظمة.
أن تستخدم دوال جداول البيانات لحسابهما.
أن تفسر قيمة الانحراف المعياري وتقارن بها بين مجموعتين.

شرح الدرس

الانحراف والتباين والانحراف المعياري

إذا كانت القيم $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ومتوسطها $\bar{x}$ وعددها $n$ :

الانحراف: الفرق بين كل قيمة والمتوسط: $x_1 - \bar{x},\ x_2 - \bar{x},\ \ldots$
التباين: متوسط مربعات الانحرافات:

s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2}{n}

الانحراف المعياري: الجذر التربيعي للتباين:

s = \sqrt{s^2}

كلما زاد التباين أو الانحراف المعياري كانت البيانات أكثر تشتتًا بعيدًا عن المتوسط. ويُكتب الانحراف المعياري بوحدة البيانات نفسها (درجات، أمتار، …).

لماذا نربّع الانحرافات؟ لأن مجموع الانحرافات نفسها يساوي صفرًا دائمًا (السالب يلغي الموجب)، فالتربيع يجعلها كلها موجبة.

خطوات الحساب بجدول

أوجد المتوسط.
أوجد انحراف كل قيمة عن المتوسط.
ربّع كل انحراف.
أوجد متوسط المربعات؛ وهو التباين.
خذ الجذر التربيعي للتباين؛ وهو الانحراف المعياري.

في جداول البيانات

التباين: VAR.P في Excel، أو VARP في جداول بيانات Google.
الانحراف المعياري: STDEV.P.

أمثلة وتطبيقات

مثال: أوجد التباين والانحراف المعياري للقيم: 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9.

المتوسط: $\bar{x} = \frac{40}{8} = 5$ .

القيمة $x$	الانحراف $x - \bar{x}$	مربع الانحراف
2	$-3$	9
4	$-1$	1
4	$-1$	1
4	$-1$	1
5	$0$	0
5	$0$	0
7	$2$	4
9	$4$	16
المجموع 40	$0$	32

التباين: $s^2 = \frac{32}{8} = 4$ .
الانحراف المعياري: $s = \sqrt{4} = 2$ .

مقارنة مجموعتين: المجموعة (أ): 6، 7، 8، 9، 10، والمجموعة (ب): 2، 4، 8، 12، 14. لكل منهما المتوسط 8.

(أ): الانحرافات $-2, -1, 0, 1, 2$ ومربعاتها مجموعها 10، فالتباين $= 2$ والانحراف المعياري $\approx 1.41$ .
(ب): الانحرافات $-6, -4, 0, 4, 6$ ومربعاتها مجموعها 104، فالتباين $= 20.8$ والانحراف المعياري $\approx 4.56$ .

إذن المجموعة (ب) أكثر تشتتًا رغم تساوي المتوسطين.

ملاحظات مهمة

تحقق من حسابك: مجموع الانحرافات يجب أن يساوي صفرًا.
التباين وحدته مربعة (درجة²)، ولذلك نستخدم الانحراف المعياري الذي يعود إلى وحدة البيانات الأصلية.
الانحراف المعياري لا يكون سالبًا أبدًا، ويساوي صفرًا فقط إذا كانت كل القيم متساوية.

المفاهيم الأساسية

الانحراف = القيمة − المتوسط.
التباين = متوسط مربعات الانحرافات.
الانحراف المعياري = الجذر التربيعي للتباين، وبوحدة البيانات نفسها.
كلما زاد التباين زاد تشتت البيانات.
الدوال: VAR.P أو VARP للتباين، وSTDEV.P للانحراف المعياري.

ملخص الدرس

يقيس التباين والانحراف المعياري مدى انتشار البيانات حول متوسطها. نحسبهما بإيجاد انحراف كل قيمة عن المتوسط، ثم تربيعه، ثم أخذ متوسط المربعات (التباين)، ثم جذره (الانحراف المعياري). وبهما نفرق بين مجموعات لها المتوسط نفسه لكنها تختلف في تقارب قيمها.

أسئلة للتدريب

عرّف التباين والانحراف المعياري.
أوجد التباين والانحراف المعياري للقيم: 26، 25، 32، 28، 32، 25.
لماذا نربّع الانحرافات عند حساب التباين؟
مجموعتان لهما المتوسط نفسه، وانحرافهما المعياري 3 و 9. أيهما قيمها أكثر تقاربًا؟
اكتب دالة جداول البيانات لحساب الانحراف المعياري للقيم في الخلايا من A1 إلى A20.