أسئلة: متباينات الدرجة الثانية في مجهول واحد

الإجابة الصحيحة: $(-3, 3)$

أصفار الدالة هي $x = -3$ و $x = 3$. معامل $x^2$ موجب، تكون إشارة المقدار سالبة بين الجذرين، وبما أن المتباينة $x^2 - 9 < 0$ تامة فإن مجموعة الحل هي الفترة المفتوحة $(-3, 3)$.

الإجابة الصحيحة: $\varnothing$

المميز $\Delta = 0 - 16 = -16 < 0$ ومُعامل $x^2$ موجب، مما يعني أن $x^2 + 4 > 0$ لجميع قيم $x \in \mathbb{R}$، بالتالي لا توجد قيم تجعلها أصغر من الصفر، ومجموعة الحل هي $\varnothing$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R}$

بما أن المميز سالب ومُعامل $x^2$ موجب، فإن المقدار $x^2 + 4$ موجب تمامًا لجميع الأعداد الحقيقية، فتكون مجموعة الحل هي $\mathbb{R}$.

الإجابة الصحيحة: $[2, 3]$

بتحليل المقدار $(x-2)(x-3) \leq 0$ نجد أن الأصفار هي $x = 2$ و $x = 3$. إشارة المقدار سالبة بين الجذرين، وبما أن المتباينة غير تامة ($\leq$) فإن الجذرين يتضمنان في الحل، فتكون مجموعة الحل $[2, 3]$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R} - [-2, 4]$

أصفار الدالة هي $x = -2$ و $x = 4$. المقدار يكون موجبًا خارج الفترة المغلقة بين الجذرين، فتكون مجموعة الحل هي $(-\infty, -2) \cup (4, \infty)$ والتي تُكتب $\mathbb{R} - [-2, 4]$.

الإجابة الصحيحة: $6$

لكي تكون مجموعة حل المتباينة هي نقطة واحدة $\{3\}$، يجب أن يكون المميز مساويًا للصفر والجذر مكرر وهو $3$. بالمقارنة مع $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \leq 0$ نجد أن $k = 6$.

الإجابة الصحيحة: $\{1\}$

المربع الكامل $(x-1)^2$ دائمًا أكبر من أو يساوي الصفر لجميع قيم $x$. القيمة الوحيدة التي تحقّق $\leq 0$ هي التي تجعله يساوي الصفر وهي $x = 1$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R} - \{5\}$

المربع الكامل يكون موجبًا دائمًا لجميع الأعداد الحقيقية ما عدا القيمة التي تجعله صفرًا وهي $x = 5$.

الإجابة الصحيحة: $\varnothing$

بضرب طرفي المتباينة في $-1$ نحصل على $x^2 - 4x + 5 < 0$. المميز $\Delta = 16 - 20 = -4 < 0$ ومُعامل $x^2$ موجب، فالمقدار موجب دائمًا ولا يمكن أن يكون أصغر من الصفر، فتكون مجموعة الحل هي $\varnothing$.

الإجابة الصحيحة: $[0, 3]$

نأخذ $x$ عاملًا مشتركًا: $x(3-x) \geq 0$. الأصفار هي $0$ و $3$. وبما أن معامل $x^2$ سالب، تكون إشارة المقدار موجبة (أو صفر) بين الجذرين وفي الفترة المغلقة $[0, 3]$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R}$

نعيد ترتيب المتباينة لتصبح $x^2 - 4x + 4 \geq 0$ أي $(x-2)^2 \geq 0$. وبما أن أي مربع كامل يكون غير سالب لجميع الأعداد الحقيقية، فإن مجموعة الحل هي $\mathbb{R}$.

الإجابة الصحيحة: $a < 0$ و $b^2 - 4ac < 0$

لكي تكون المتباينة أقل من الصفر لجميع قيم $x \in \mathbb{R}$، يجب ألا تقطع الدالة محور السينات (أي المميز سالب $b^2 - 4ac < 0$) وأن تكون فتحتها لأسفل (أي معامل $x^2$ سالب $a < 0$).

الإجابة الصحيحة: $\left(-\frac{1}{2}, 2\right)$

$2x^2 - 3x - 2 < 0$ أي $(2x + 1)(x - 2) < 0$، والدالة سالبة بين الجذرين $-\frac{1}{2}$ و $2$، والمتباينة تامة فلا يدخل الجذران.

الإجابة الصحيحة: $[-4, 2]$

$(x + 4)(x - 2) \leq 0$، والدالة سالبة بين الجذرين، والمتباينة غير تامة فيدخل الجذران: $[-4, 2]$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R}$

المميز $= 1 - 48 < 0$ ومعامل $x^2$ موجب، فالدالة موجبة دائمًا والحل $\mathbb{R}$.

1. نضع المقدار في صورة معادلة لإيجاد الأصفار: $x^2 - 16 = 0 \implies (x-4)(x+4) = 0 \implies x = 4 \text{ أو } x = -4$. 2. نبحث إشارة الدالة $f(x) = x^2 - 16$: - تكون سالبة في الفترة المفتوحة $(-4, 4)$. - تساوي صفرًا عند $x = -4$ و $x = 4$. 3. المتباينة تطلب $f(x) \leq 0$، إذن تتضمن الأصفار. مجموعة الحل هي الفترة المغلقة $[-4, 4]$.

1. نحدد أصفار الدالة $f(x) = x^2 - 3x - 10$ بتحليل المقدار: $(x-5)(x+2) = 0 \implies x = 5 \text{ أو } x = -2$. 2. نبحث إشارة الدالة: - موجبة في الفترة $(-\infty, -2)$ والفترة $(5, \infty)$. - سالبة في الفترة $(-2, 5)$. - تساوي صفرًا عند $x = -2, 5$. 3. المتباينة تطلب القيم الموجبة تمامًا ($> 0$). مجموعة الحل: $(-\infty, -2) \cup (5, \infty)$ أو تُكتب $\mathbb{R} - [-2, 5]$.

1. نفك الأقواس وننقل الحد الثابت للطرف الأيمن لتصبح المتباينة على الصورة القياسية: $x^2 + 2x - 3 \leq 0$. 2. نجد أصفار المعادلة $x^2 + 2x - 3 = 0$: $(x+3)(x-1) = 0 \implies x = -3 \text{ أو } x = 1$. 3. إشارة المقدار تكون سالبة بين الجذرين أي في الفترة $(-3, 1)$ وتساوي صفرًا عند $x = -3, 1$. 4. بما أن المتباينة غير تامة ($\leq 0$)، فإن مجموعة الحل هي الفترة المغلقة $[-3, 1]$.

1. نجد أصفار المقدار $2x^2 - 5x + 2 = 0$: باستخدام التحليل: $(2x - 1)(x - 2) = 0 \implies x = \frac{1}{2} \text{ أو } x = 2$. 2. نبحث إشارة الدالة $f(x) = 2x^2 - 5x + 2$: - معامل $x^2$ موجب ($2 > 0$). - تكون الدالة موجبة خارج الجذرين: $(-\infty, \frac{1}{2})$ و $(2, \infty)$. - تكون سالبة بين الجذرين: $(\frac{1}{2}, 2)$. - تساوي صفرًا عند $x = \frac{1}{2}$ و $x = 2$. 3. المتباينة تطلب $\geq 0$، إذن نضم الأصفار. مجموعة الحل هي: $(-\infty, \frac{1}{2}] \cup [2, \infty)$ أو $\mathbb{R} - (\frac{1}{2}, 2)$.

1. نضرب طرفي المتباينة في $-1$ ونعكس إشارة المتباينة: $x^2 - 6x + 9 > 0$. 2. نحلل المقدار الناتج: $(x-3)^2 > 0$. 3. المقدار $(x-3)^2$ مربع كامل، وهو موجب تمامًا لجميع الأعداد الحقيقية باستثناء القيمة التي تجعله صفرًا وهي $x = 3$. 4. إذن مجموعة الحل هي جميع الأعداد الحقيقية ما عدا $3$: $\mathbb{R} - \{3\}$.

1. لكي تكون المتباينة التربيعية التي معامل $x^2$ فيها موجب ($1 > 0$) صحيحة لجميع قيم $x \in \mathbb{R}$، يجب ألا تكون للمعادلة المناظرة أصفار حقيقية، أي يجب أن يكون المميز $\Delta < 0$. 2. نحسب المميز $\Delta = b^2 - 4ac$ حيث $a=1, b=-m, c=4$: $\Delta = (-m)^2 - 4(1)(4) = m^2 - 16$. 3. نضع شرط المميز: $m^2 - 16 < 0$. 4. نحل المتباينة بالنسبة لـ $m$: أصفار المتباينة هي $m = -4, m = 4$. تكون $m^2 - 16 < 0$ عندما تنتمي $m$ للفترة المفتوحة بين الجذرين. إذن قيم $m$ المطلوبة هي $m \in (-4, 4)$.