أسئلة: العلاقة بين مساحتي سطحي مضلعين متشابهين

الإجابة الصحيحة: $\frac{4}{9}$

النسبة بين مساحتي مضلعين متشابهين تساوي مربع نسبة التشابه، أي $k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$.

الإجابة الصحيحة: 32 سم²

نسبة المساحتين تساوي $(\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$. إذن مساحة الأكبر $= 18 \times \frac{16}{9} = 32$ سم².

الإجابة الصحيحة: $\frac{5}{8}$

مربع نسبة التشابه $k^2 = \frac{25}{64}$، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن نسبة التشابه $k = \frac{5}{8}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{9}{25}$

النسبة بين محيطي مضلعين متشابهين تساوي نسبة التشابه $k = \frac{3}{5}$، والنسبة بين المساحتين تساوي مربعها أي $k^2 = \frac{9}{25}$.

الإجابة الصحيحة: 2

بما أن نسبة المساحتين تساوي 4، فإن مربع نسبة التشابه $k^2 = 4$، إذن نسبة التشابه $k = 2$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{4}{25}$

نسبة مساحة الثاني إلى مساحة الأول تساوي مقلوب مربع نسبة التشابه إذا كان الترتيب معكوساً، أو $(\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$.

الإجابة الصحيحة: 108 سم²

نسبة التشابه $k = \frac{12}{4} = 3$، ومربعها $k^2 = 9$. إذن مساحة الأكبر $= 12 \times 9 = 108$ سم².

الإجابة الصحيحة: تتضاعف 4 مرات

نسبة التشابه $k = 2$، وبالتالي تتضاعف المساحة بمقدار $k^2 = 2^2 = 4$ مرات.

الإجابة الصحيحة: $\frac{4}{49}$

النسبة بين الارتفاعات المتناظرة في المثلثين المتشابهين تساوي نسبة التشابه $k = \frac{2}{7}$، والنسبة بين المساحتين تساوي $k^2 = \frac{4}{49}$.

الإجابة الصحيحة: 25 سم

باستخراج الجذر التربيعي لنسبة المساحتين نحصل على نسبة التشابه (التي تساوي نسبة المحيطين) $k = \frac{4}{5}$. إذن محيط الأكبر $= 20 \times \frac{5}{4} = 25$ سم.

الإجابة الصحيحة: 1

إذا كان المضلعان متطابقين فإن مساحتيهما متساويتان، أي أن النسبة بين مساحتيهما تساوي 1، ومربع نسبة التشابه $k^2 = 1$ يعطي $k = 1$.

الإجابة الصحيحة: 18 سم

نسبة التشابه $k = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$. طول ضلع الأصغر = طول ضلع الأكبر $\times \frac{3}{4} = 24 \times \frac{3}{4} = 18$ سم.

الإجابة الصحيحة: $3$ كم²

البعدان الحقيقيان $4 \times 50\,000 = 200\,000$ سم $= 2$ كم، و $3 \times 50\,000 = 150\,000$ سم $= 1.5$ كم، فالمساحة $2 \times 1.5 = 3$ كم².

الإجابة الصحيحة: $54$ سم²

$\frac{AD}{AB} = \frac{3}{5}$، ونسبة المساحتين $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$، فمساحة $ADE = 150 \times \frac{9}{25} = 54$ سم². الخيار $90$ ناتج عن استخدام $k$ بدل $k^2$.

الإجابة الصحيحة: تُضرب في $9$

المضلع الجديد يشابه الأصلي بمعامل $3$، ونسبة المساحتين مربع المعامل $= 9$.

1. نسبة التشابه $k = \frac{1}{4}$.\n2. النسبة بين مساحتي المثلثين تساوي مربع نسبة التشابه: $k^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.\n3. بما أن $\frac{\text{مساحة الأصغر}}{\text{مساحة الأكبر}} = \frac{1}{16}$، إذن:\nمساحة الأصغر $= \text{مساحة الأكبر} \times \frac{1}{16} = 96 \times \frac{1}{16} = 6$ سم².

1. نوجد النسبة بين المساحتين: $\frac{\text{مساحة الأول}}{\text{مساحة الثاني}} = \frac{12}{27}$.\n2. تبسيط الكسر بالقسمة على 3: $\frac{12}{27} = \frac{4}{9}$.\n3. نسبة التشابه $k$ تساوي الجذر التربيعي للنسبة بين المساحتين: $k = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.\n4. النسبة بين محيطي مضلعين متشابهين تساوي نسبة التشابه نفسها $k$، إذن النسبة بين المحيطين هي $\frac{2}{3}$ (أو 2 : 3).

1. نسبة الأطوال (مثل الأضلاع، الارتفاعات، المحيطات) بين مضلعين متشابهين تعتمد على البعد الواحد (الخطدي) وتساوي نسبة التشابه $k$ مباشرة دون تربيع.\n2. نسبة المساحات تعتمد على بُعدين متعامدين (الطول والعرض أو القاعدة والارتفاع)، وبما أن كلاً منهما يتغير بنسبة $k$، فإن مساهمة البعدين معاً تعطي مربع نسبة التشابه $k^2$.\n3. خلاصة: نسبة الأطوال $= k$، بينما نسبة المساحات $= k^2$.

1. يجب توحيد الوحدات أو التعامل مع النسب النسبية المجردة. نسبة المساحتين = $\frac{\text{مساحة التصميم}}{\text{مساحة الحقيقة}}$ (مع تحويل الوحدات إن لزم، لكن هنا النسبة مجردة). لنعتبر مساحة التصميم 5 سم² ومساحة الحقيقة 5000000 سم².\n2. النسبة بين المساحتين = $\frac{5}{5000000} = \frac{1}{1000000}$.\n3. نسبة التشابه $k$ (النسبة بين الأطوال) تساوي الجذر التربيعي للنسبة بين المساحتين:\n$k = \sqrt{\frac{1}{1000000}} = \frac{1}{1000}$.\n4. إذن النسبة بين أطوال أضلاع التصميم وأطوال الحقيقة هي $1 : 1000$.

1. نجد نسبة التشابه $k$ بين المستطيلين من أطوال الأضلاع المتناظرة:\n$k = \frac{\text{طول الثاني}}{\text{طول الأول}} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.\n2. نطبق علاقة المساحات: $\frac{\text{مساحة الثاني}}{\text{مساحة الأول}} = k^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.\n3. نحسب مساحة المستطيل الثاني:\nمساحة الثاني $= \text{مساحة الأول} \times \frac{9}{4} = 32 \times \frac{9}{4} = 8 \times 9 = 72$ سم².

1. ليكن المثلثان $ABC$ و $A'B'C'$ متشابهين بنسبة تشابه $k = \frac{A'B'}{AB}$.\n2. ارتفاعاهما المتناظران $h$ و $h'$ تكون النسبة بينهما أيضاً مساوية لـ $k$ (بسبب تشابه المثلثات القائمة الناتجة عن الارتفاعات).\n3. مساحة المثلث = $\frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$.\n4. إذن النسبة بين المساحتين = $(\frac{A'B'}{AB}) \times (\frac{h'}{h}) = k \times k = k^2$.