أسئلة: المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة

الإجابة الصحيحة: $3$ سم

من نظرية المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة، النسبة بين جزئي القاطع الأول تساوي النسبة بين جزئي القاطع الثاني: $\frac{4}{6} = \frac{2}{x} \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3$ سم.

الإجابة الصحيحة: $8$ سم

حسب نظرية المستقيم الموازي لأضلع المثلث: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow \frac{3}{6} = \frac{4}{EC} \Rightarrow 3 \cdot EC = 24 \Rightarrow EC = 8$ سم.

الإجابة الصحيحة: $6$ سم

نجد أولًا طول $DB = AB - AD = 15 - 9 = 6$ سم. ثم نطبق علاقة التناسب: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow \frac{9}{6} = \frac{AE}{10 - AE}$ أو مباشرة $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \Rightarrow \frac{9}{15} = \frac{AE}{10} \Rightarrow AE = \frac{9 \times 10}{15} = 6$ سم.

الإجابة الصحيحة: موازيًا للضلع الثالث

هذا هو النص المباشر لعكس نظرية المستقيم الموازي لأحد أضلاع المثلث، حيث يُستخدم إثبات تساوي النسب لإثبات التوازي.

الإجابة الصحيحة: يوازيه

تطبيق مباشر لعكس نظرية التناسب في المثلث؛ تساوي نسب التقسيم للضلعين يعني حتمًا توازي المستقيم مع الضلع الثالث.

الإجابة الصحيحة: $12$ سم

بما أن $\frac{AD}{DB} = \frac{5}{5} إذن \frac{AE}{EC} = 1$، إذن $EC = AE = 6$ سم. طول $AC = AE + EC = 6 + 6 = 12$ سم.

الإجابة الصحيحة: $10$ سم

من تناسب أجزاء القاطعين: $\frac{2}{5} = \frac{4}{x} \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10$ سم.

الإجابة الصحيحة: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$

هذه إحدى الصيغ الصحيحة المستنتجة من تناسب الأجزاء مع الأضلاع الكلية للمثلث الناتجة عن التشابه والتوازي.

الإجابة الصحيحة: نعم، بعكس النظرية

نحسب النسبة الأولى $\frac{AD}{DB} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$، والنسبة الثانية $\frac{AE}{EC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. بما أن النسبتين متساويتان، إذن $DE \parallel BC$.

الإجابة الصحيحة: ثلاث قطع

أربعة مستقيمات متوازية تقطع القاطع إلى ثلاثة أجزاء (مسافات بينية متتالية) تتناسب مع نظيراتها على القاطع الآخر.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

من تشابه المثلثين $ADE$ و $ABC$ الناتج عن التوازي، نسبة المحيطات تساوي نسبة التشابه (الضلع إلى الضلع)، وبما أن النسبة هي $1:2$ إذن $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $20$ سم

النسبة بين الجزأين على القاطع الأول هي $\frac{7}{14} = \frac{1}{2}$. إذن على القاطع الثاني الجزء الثاني ضعف الأول، وبما أن مجموعهما $30$ سم، إذن $x + 2x = 30 \Rightarrow 3x = 30 \Rightarrow x = 10$ سم للجزء الأصغر، و $20$ سم للجزء الأكبر.

الإجابة الصحيحة: $3$

بنظرية تاليس الخاصة تتساوى القطعتان على القاطع الثاني: $3x - 1 = x + 5$ إذن $x = 3$.

الإجابة الصحيحة: نظرية تاليس العامة

هذه هي نظرية تاليس العامة، وحالتها الخاصة عندما تتساوى القطع على أحد القاطعين.

الإجابة الصحيحة: $6$ أمتار

الأعمدة متوازية، فبنظرية تاليس: $\frac{L}{1.5} = \frac{4.8}{1.2} = 4$، إذن $L = 6$ أمتار.

1. نكتب علاقة التناسب لنظرية المستقيم الموازي لأضلاع المثلث: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. 2. نعوض بالقيم المعلومة: $\frac{6}{9} = \frac{AE}{EC}$، وبتبسيط الكسر نجد أن $\frac{AE}{EC} = \frac{2}{3}$. 3. بما أن $AC = AE + EC = 20$ سم، نفرض أن $AE = 2x$ و $EC = 3x$. 4. إذن: $2x + 3x = 20 \Rightarrow 5x = 20 \Rightarrow x = 4$. 5. إذن طول $AE = 2 \times 4 = 8$ سم. 6. وطول $EC = 3 \times 4 = 12$ سم.

1. نستخدم عكس نظرية المستقيم الموازي لأحد أضلاع المثلث للتحقق من التوازي. 2. نحسب نسبة الجزء إلى الكل للضلع الأول: $\frac{AD}{AB} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. 3. نحسب نسبة الجزء إلى الكل للضلع الثاني: $\frac{AE}{AC} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$. 4. نلاحظ أن النسبتين متساويتان: $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3}$. 5. بناءً على عكس النظرية، بما أن النسبة ثابتة ومتساوية بين الجزأين والضلعين الكليين، إذن المستقيم $DE$ يوازي الضلع $BC$ ($DE \parallel BC$).

1. نطبق نظرية المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة لتكوين المعادلة: $\frac{3}{5} = \frac{x}{x + 4}$. 2. نجرِ عملية الضرب التبادلي: $3(x + 4) = 5x$. 3. نفك القوس: $3x + 12 = 5x$. 4. ننقل الحدود المتشابهة في طرف واحد: $12 = 5x - 3x \Rightarrow 12 = 2x$. 5. نقسم على معامل $x$: $x = 6$ سم (وهو طول الجزء الأول من القاطع الثاني). 6. طول الجزء الثاني من القاطع الثاني: $x + 4 = 6 + 4 = 10$ سم. 7. الطول الكلي للقاطع الثاني = $6 + 10 = 16$ سم.

1. نكتب علاقة التناسب الناتجة عن التوازي: $\frac{XL}{LY} = \frac{XM}{MZ}$. 2. نعوض بالقيم المعطاة بدلالة $x$: $\frac{x - 1}{3} = \frac{4}{6}$. 3. نبسط الكسر في الطرف الأيسر أو الأيمن: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. 4. تصبح المعادلة: $\frac{x - 1}{3} = \frac{2}{3}$. 5. بما أن المقامين متساويان، إذن البسطان متساويان: $x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$. 6. لحساب طول $XL$: نعوض بقيمة $x$ فيكون $XL = 3 - 1 = 2$. 7. لحساب طول $XY$ بالكامل: $XY = XL + LY = 2 + 3 = 5$ سم.

1. ليكن لدينا المثلث $ABC$، وليكن $D$ منتصف $AB$ و $E$ منتصف $AC$. 2. بما أن $D$ منتصف $AB$، إذن $\frac{AD}{DB} = 1$، أي أن $\frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$. 3. وبما أن $E$ منتصف $AC$، إذن $\frac{AE}{EC} = 1$، أي أن $\frac{AE}{AC} = \frac{1}{2}$. 4. بما أن $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{2}$، فإنه بعكس نظرية التناسب يكون $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$. 5. من تشابه المثلثين $ADE$ و $ABC$ (بسبب التوازي)، تكون نسبة التشابه هي $\frac{1}{2}$. 6. إذن طول الضلع $DE$ يساوي نصف طول الضلع المقابل $BC$ (أي $DE = \frac{1}{2} BC$).

1. من نظرية التناسب في المثلث، النسبة بين جزئي الضلع الأول تساوي النسبة بين جزئي الضلع الثاني: $\frac{PS}{SR} = \frac{PT}{TR} = \frac{3}{2}$. 2. نعوض بطول $PT = 7.5$ سم لإيجاد طول $TR$: $\frac{3}{2} = \frac{7.5}{TR}$. 3. نجرِ الضرب التبادلي: $3 \cdot TR = 2 \times 7.5 \Rightarrow 3 \cdot TR = 15$. 4. نقسم على $3$: $TR = \frac{15}{3} = 5$ سم. 5. الطول الكلي للضلع $PR$ هو مجموع جزئيه: $PR = PT + TR = 7.5 + 5 = 12.5$ سم.