أسئلة: التغير الطردي والتغير العكسي

الإجابة الصحيحة: ثابت التغير الطردي وميل الخط المستقيم المار بنقطة الأصل

في التغير الطردي، النسبة $\frac{y}{x} = k$ حيث $k$ هو ثابت التغير ويمثل ميل الخط المستقيم المار بنقطة الأصل $(0,0)$.

الإجابة الصحيحة: 12

في التغير العكسي، ثابت التغير $k = x \times y = 3 \times 4 = 12$.

الإجابة الصحيحة: $xy = 10$

التغير العكسي يتميز بأن حاصل ضرب المتغيرين ثابت ($xy = k$)، بينما البقية تمثل تغيرًا طرديًا أو علاقات أخرى.

الإجابة الصحيحة: 42

ثابت التغير $k = \frac{24}{4} = 6$. إذن $y = 6x$. وعندما $x = 7$ يكون $y = 6 \times 7 = 42$.

الإجابة الصحيحة: 3

حاصل الضرب الثابت $k = 12 \times 5 = 60$. إذن $20 \times y = 60$ ومنها $y = \frac{60}{20} = 3$.

الإجابة الصحيحة: 96 جنيهًا

التكلفة تتغير طرديًا مع عدد الكتب. سعر الكتاب الواحد = $\frac{60}{5} = 12$ جنيهًا. تكلفة 8 كتب = $12 \times 8 = 96$ جنيهًا.

الإجابة الصحيحة: 4 أيام

عدد العمال والزمن في تغير عكسي: $n_1 t_1 = n_2 t_2 \implies 6 \times 10 = 15 \times t_2 \implies t_2 = \frac{60}{15} = 4$ أيام.

الإجابة الصحيحة: 120 كم/س

السرعة والزمن لتحديد مسافة ثابتة في تغير عكسي: $v_1 t_1 = v_2 t_2 \implies 90 \times 4 = v_2 \times 3 \implies v_2 = \frac{360}{3} = 120$ كم/س.

الإجابة الصحيحة: منحنى القطع الزائد الذي لا يمر بنقطة الأصل

التمثيل البياني للتغير العكسي ($y = \frac{k}{x}$) هو منحنى يُسمى القطع الزائد ولا يتقاطع مع المحورين الإحداثيين.

الإجابة الصحيحة: $\frac{3}{5}$

في التغير الطردي للزوجين من القيم، النسبة ثابتة: $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$ ومنها $\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2} = \frac{3}{5}$.

الإجابة الصحيحة: 18

حاصل الضرب الثابت $k = x^2 y = (3^2) \times 2 = 9 \times 2 = 18$. عندما $x = 1$ يكون $1^2 \times y = 18 \implies y = 18$.

الإجابة الصحيحة: 28 سم

من قانون التغير الطردي $P = kl$. إذن $P = 4 \times 7 = 28$ سم.

1. لإيجاد ثابت التغير $k$: $k = \frac{y}{x} = \frac{15}{3} = 5$. 2. علاقة التغير هي: $y = 5x$. 3. لإيجاد $y$ عندما $x = 9$: $y = 5 \times 9 = 45$.

الطريقة الأولى (باستخدام ثابت التغير $k$): - $k = x \times y = 6 \times 8 = 48$. - علاقة التغير: $y = \frac{48}{x}$. - عندما $x = 4$: $y = \frac{48}{4} = 12$. الطريقة الثانية (باستخدام خاصية التغير العكسي لزوجين من القيم): - $x_1 y_1 = x_2 y_2$ - $6 \times 8 = 4 \times y_2$ - $48 = 4 y_2 \implies y_2 = \frac{48}{4} = 12$.

1. نحدد العلاقة بين نصيب الفرد وعدد الأفراد وهي تغير عكسي (لأن المبلغ الإجمالي ثابت). 2. نحسب ثابت التغير (المبلغ الإجمالي الثابت): $k = \text{عدد الأفراد} \times \text{نصيب الفرد} = 4 \times 120 = 480$ جنيهًا. 3. نحسب نصيب الفرد الجديد عندما يصبح عدد الأفراد $6$: $\text{النصيب الجديد} = \frac{480}{6} = 80$ جنيهًا.

1. الصورة الرياضية: - التغير الطردي: $y = kx$ (أو $\frac{y}{x} = k$). - التغير العكسي: $y = \frac{k}{x}$ (أو $xy = k$). 2. حساب ثابت التغير $k$: - في الطردي: $k = \frac{y}{x}$. - في العكسي: $k = x \times y$. 3. التمثيل البياني: - التغير الطردي: خط مستقيم يمر بنقطة الأصل $(0,0)$. - التغير العكسي: منحنى (قطع زائد) لا يمر بنقطة الأصل ولا يتقاطع مع المحورين.

1. التغير طردي بين الوزن ($W$) والكتلة ($m$): $\frac{W}{m} = k$. 2. نحسب ثابت التغير $k$: $k = \frac{49}{5} = 9.8$. 3. نستخدم العلاقة لإيجاد كتلة الجسم الذي وزنه $98$ نيوتن: $W = k \times m \implies 98 = 9.8 \times m$ $m = \frac{98}{9.8} = 10$ كجم. (أو باستخدام نسبة وتناسب: $\frac{49}{5} = \frac{98}{m} \implies m = \frac{5 \times 98}{49} = 10$ كجم).

1. السرعة والزمن لقطع مسافة ثابته في علاقة تغير عكسي ($v \times t = k$). 2. نحسب المسافة الثابتة (ثابت التغير $k$): $k = 60 \times 5 = 300$ كم. 3. نحسب الزمن اللازم بالسرعة الجديدة ($100$ كم/س): $t = \frac{300}{100} = 3$ ساعات.