أسئلة: المتغير العشوائي المتقطع

الإجابة الصحيحة: عدد مرات ظهور الصورة عند إلقاء قطعتين نقود

المتغير العشوائي المتقطع يأخذ قيماً منفصلة معدودة كالأعداد الصحيحة، بينما الطول والزمن والكتلة متغيرات عشوائية متصلة.

الإجابة الصحيحة: يساوي 1 تمامًا

من شروط التوزيع الاحتمالي الصحيح أن يكون مجموع احتمالات كل القيم الممكنة للمتغير مساويًا لـ 1 تمامًا.

الإجابة الصحيحة: متغير عشوائي متقطع

القيم الممكنة للمتغير هي قيم منفصلة ومحدودة (0 و 1)، ومجموع احتمالاتها يساوي 1، مما يجعله متغيرًا عشوائيًا متقطعًا.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

مجموع الاحتمالات = 1. إذن $P(X=3) = 1 - (\frac{1}{6} + \frac{1}{3}) = 1 - (\frac{1}{6} + \frac{2}{6}) = 1 - \frac{3}{6} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

الإجابة الصحيحة: 0.7

احتمال الحدث المتمم يساوي $1 - P(X=2) = 1 - 0.3 = 0.7$.

الإجابة الصحيحة: قاعدة تربط كل نتيجة من نتائج تجربة عشوائية بقيمة عددية معينة

المتغير العشوائي هو دالة أو قاعدة تحول نتائج التجربة العشوائية إلى قيم عدديّة.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

بالتعويض المباشر عن $x=3$ في القاعدة: $P(X=3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{3}{4}$

$P(X \geq 1) = P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ (أو باستخدام المتمم: $1 - P(X=0) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$).

الإجابة الصحيحة: $P(X=1) = 0.4$ و$P(X=2) = 0.6$

في التوزيع الصحيح تكون الاحتمالات غير سالبة ومجموعها $1$، وهذا لا يتحقق إلا في الخيار الأول: $0.4 + 0.6 = 1$.

الإجابة الصحيحة: $0.3$

مجموع الاحتمالات يساوي $1$ فـ$P(X=3) = 1 - (0.2 + 0.5) = 0.3$.

الإجابة الصحيحة: $\{0, 1, 2, 3\}$

قد لا تظهر صورة ($0$) وقد تظهر حتى ثلاث صور.

الإجابة الصحيحة: $\frac{3}{8}$

النواتج: $HHT, HTH, THH$ أي $3$ من $8$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

$P(X=0) + P(X=1) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{6}$

المجموع $7$ يتحقق في $6$ أزواج من $36$ فالاحتمال $\frac{1}{6}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{3}$

الأزواج المرتبة $(1,3), (3,1), (2,3), (3,2)$ أي $4$ من $12$ فالاحتمال $\frac{1}{3}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{10}$

$k(1 + 2 + 3 + 4) = 1$ فـ$10k = 1$ ومنه $k = \frac{1}{10}$.

الإجابة الصحيحة: صواب

قيمه أعداد صحيحة منفصلة يمكن عدها.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ عدد الصور متغير متقطع قيمه أعداد صحيحة فقط ولا يأخذ قيمًا بين الأعداد.

المتغير العشوائي المتقطع هو قاعدة أو دالة تربط كل نتيجة من نتائج تجربة عشوائية بقيمة عددية منفصلة ومعدودة (كالأعداد الصحيحة المحدودة). أما الفرق الأساسي فهو أن المتغير المتقطع يأخذ قيمًا منفصلة غير متصلة (مثل عدد الأفراد أو مرات النجاح)، بينما المتغير المتصل يأخذ أي قيمة حقيقية ضمن فترة أو مجال متصل (مثل الطول أو الوزن أو الزمن).

الشرطان هما: 1) أن يكون احتمال كل قيمة منفردة محصورًا بين الصفر والواحد: $0 \leq P(X = x_i) \leq 1$ لكل قيمة $x_i$. 2) أن يكون مجموع احتمالات جميع القيم الممكنة للمتغير مساويًا لـ 1 تمامًا: $\sum_{i} P(X = x_i) = 1$.

بما أن مجموع الاحتمالات يساوي 1، إذن: $P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1$، أي: $0.2 + k + 0.5 = 1 \implies 0.7 + k = 1 \implies k = 0.3$. للتحقق: الاحتمالات هي 0.2، 0.3، 0.5 وكل منها يقع بين 0 و 1، ومجموعها $0.2 + 0.3 + 0.5 = 1$، إذن التوزيع صحيح.

الجدول مرفوض لأنه لا يحقق الشرط الثاني للتوزيع الاحتمالي الصحيح؛ فعلى الرغم من أن كل احتمال منفرد يقع بين 0 و 1، إلا أن مجموع الاحتمالات يساوي: $0.2 + 0.8 + 0.1 = 1.1$، وهو أكبر من الواحد الصحيح ولا يساوي 1.

الطريقة الأولى (الجمع المباشر): $P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) = 0.5 + 0.3 = 0.8$. الطريقة الثانية (باستخدام الحدث المتمم): الحدث المتمم لـ $(X \geq 2)$ هو $(X < 2)$ أي $(X = 1)$. إذن $P(X \geq 2) = 1 - P(X=1) = 1 - 0.2 = 0.8$. تتطابق الطريقتان في إعطاء النتيجة 0.8.

$n(S) = 8$. $P(X=0) = \frac{1}{8}$ ($TTT$) و$P(X=1) = \frac{3}{8}$ و$P(X=2) = \frac{3}{8}$ و$P(X=3) = \frac{1}{8}$ ($HHH$). المجموع $1$. $P(X \ge 2) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$.

$S = \{HH, HT, TH, TT\}$. مدى $X$ هو $\{0, 1, 2\}$. $P(X=0) = \frac{1}{4}$ ($HH$) و$P(X=1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ($HT, TH$) و$P(X=2) = \frac{1}{4}$ ($TT$). مجموعها $1$.

عدد النواتج $4 \times 3 = 12$. $X = 2$: $(1,2), (2,1)$ فـ$d(2) = \frac{2}{12}$. $X = 3$: $(1,3), (3,1), (2,3), (3,2)$ فـ$d(3) = \frac{4}{12}$. $X = 4$: ستة أزواج فـ$d(4) = \frac{6}{12}$. الشرط الأول: كل القيم موجبة. الشرط الثاني: $\frac{2 + 4 + 6}{12} = 1$.

$k(1 + 2 + 3 + 4) = 1$ فـ$k = \frac{1}{10}$. الجدول: $d(1) = \frac{1}{10}$ و$d(2) = \frac{2}{10}$ و$d(3) = \frac{3}{10}$ و$d(4) = \frac{4}{10}$. $P(X \ge 3) = \frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{7}{10}$.

عدد النواتج $5 \times 4 = 20$. أصغر عدد $1$: $8$ أزواج (البطاقة $1$ مع كل من $2, 3, 4, 5$ بالترتيبين) $\frac{8}{20}$. أصغر عدد $2$: $6$ أزواج $\frac{6}{20}$. أصغر عدد $3$: $4$ أزواج $\frac{4}{20}$. أصغر عدد $4$: $2$ زوجان $\frac{2}{20}$. المجموع $\frac{8 + 6 + 4 + 2}{20} = 1$.

المتقطع قيمه منفصلة يمكن عدها (عدد الحوادث في أسبوع، عدد المكالمات في شهر). أما المتصل فيأخذ أي قيمة في فترة كاملة (الطول والوزن والزمن).