ذاكر مصر

الرياضيات البحتة · الصف الثالث الثانوي

معادلة المستقيم في الفراغ

الصور المتجهية والبارامترية والكارتيزية (المتماثلة) لمعادلة المستقيم في الفراغ، ومعادلة المستقيم المارّ بنقطتين، والزاوية بين مستقيمين.

معادلة المستقيم في الفراغ — الرياضيات البحتة

معلومات الدرس

  • الصف: الثالث الثانوي
  • المادة: الرياضيات البحتة
  • الشعبة: علمي علوم / علمي رياضة
  • الترم: الأول (الترم الأول)
  • رقم الدرس: ١–٤ (الوحدة الرابعة: الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ)

الأهداف العامة

  • أن يكتب الطالب معادلة مستقيم في الفراغ بالصورة المتجهية والبارامترية والكارتيزية بمعلومية نقطة ومتجه اتجاه.
  • أن يوجد معادلة المستقيم المارّ بنقطتين معلومتين.
  • أن يحسب الزاوية بين مستقيمين ويحدّد توازيهما أو تعامدهما.

المحتوى الرئيسي

الصورة المتجهية والبارامترية

يتحدّد المستقيم في الفراغ بنقطة عليه A(x0,y0,z0)A(x_0, y_0, z_0) ومتجه اتجاه d⃗=(a,b,c)\vec{d} = (a, b, c) موازٍ له. أيّ نقطة P(x,y,z)P(x, y, z) على المستقيم يحقّق متجه موضعها:

(x,y,z)=(x0,y0,z0)+t (a,b,c),t∈R(x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + t\,(a, b, c), \quad t \in \mathbb{R}

وبمساواة المركبات نحصل على الصورة البارامترية:

x=x0+at,y=y0+bt,z=z0+ctx = x_0 + a t, \qquad y = y_0 + b t, \qquad z = z_0 + c t

كل قيمة للوسيط tt تعطي نقطة واحدة على المستقيم.

الصورة الكارتيزية (المتماثلة)

بحذف الوسيط tt (بشرط ألّا يكون أيٌّ من a,b,ca, b, c صفرًا) ينتج:

x−x0a=y−y0b=z−z0c\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}

مقامات هذه الكسور هي مركبات متجه الاتجاه. وإذا كان أحد المقامات صفرًا (مثلًا a=0a = 0) نكتب x=x0x = x_0 مع مساواة الكسرين الباقيين.

المستقيم المارّ بنقطتين والزاوية بين مستقيمين

المستقيم المارّ بـ AA وBB متجه اتجاهه d⃗=AB→=B−A\vec{d} = \overrightarrow{AB} = B - A، ثم نطبّق أيّ صورة سابقة.

الزاوية θ\theta بين مستقيمين هي الزاوية بين متجهَي اتجاهيهما d1⃗\vec{d_1} وd2⃗\vec{d_2}:

cos⁡θ=∣d1⃗⋅d2⃗∣∣d1⃗∣ ∣d2⃗∣\cos\theta = \frac{|\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}|}{|\vec{d_1}|\,|\vec{d_2}|}

فيكونان متوازيين إذا كان d1⃗∥d2⃗\vec{d_1} \parallel \vec{d_2}، ومتعامدين إذا كان d1⃗⋅d2⃗=0\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0.

النقاط الرئيسية

  • المستقيم يتحدّد بنقطة ومتجه اتجاه.
  • الصورة البارامترية: x=x0+at,  y=y0+bt,  z=z0+ctx = x_0 + at,\; y = y_0 + bt,\; z = z_0 + ct.
  • الصورة الكارتيزية: x−x0a=y−y0b=z−z0c\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}، ومقاماتها مركبات الاتجاه.
  • المستقيم المارّ بنقطتين: اتجاهه AB→\overrightarrow{AB}.
  • الزاوية بين مستقيمين من الضرب القياسي لمتجهَي اتجاهيهما.

تطبيقات / أمثلة

مثال ١: اكتب معادلة المستقيم المارّ بالنقطة (1,2,3)(1, 2, 3) وله متجه الاتجاه (2,−1,4)(2, -1, 4) بالصورتين البارامترية والكارتيزية.

الحل: البارامترية: x=1+2tx = 1 + 2t، y=2−ty = 2 - t، z=3+4tz = 3 + 4t.

الكارتيزية:

x−12=y−2−1=z−34\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{4}

مثال ٢: أوجد معادلة المستقيم المارّ بالنقطتين A(1,0,2)A(1, 0, 2) وB(3,4,−2)B(3, 4, -2).

الحل: متجه الاتجاه AB→=(2,4,−4)\overrightarrow{AB} = (2, 4, -4)، ويمكن اختصاره إلى (1,2,−2)(1, 2, -2). إذن:

x−11=y−02=z−2−2\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 0}{2} = \frac{z - 2}{-2}

مثال ٣: أوجد جيب تمام الزاوية بين مستقيمين متجها اتجاهيهما d1⃗=(1,2,2)\vec{d_1} = (1, 2, 2) وd2⃗=(2,2,1)\vec{d_2} = (2, 2, 1).

الحل: d1⃗⋅d2⃗=2+4+2=8\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 2 + 4 + 2 = 8، و∣d1⃗∣=3|\vec{d_1}| = 3، و∣d2⃗∣=3|\vec{d_2}| = 3. إذن:

cos⁡θ=∣8∣3×3=89\cos\theta = \frac{|8|}{3 \times 3} = \frac{8}{9}

مثال ٤: بيّن أن النقطة (5,0,11)(5, 0, 11) تقع على المستقيم x−12=y−2−1=z−34\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{4}.

الحل: بالتعويض: 5−12=2\frac{5 - 1}{2} = 2، و0−2−1=2\frac{0 - 2}{-1} = 2، و11−34=2\frac{11 - 3}{4} = 2. تساوت النسب الثلاث، إذن النقطة على المستقيم (وتقابل t=2t = 2).

ملاحظات:

  • متجه الاتجاه غير وحيد: أيّ مضاعف غير صفري له يمثّل الاتجاه نفسه.
  • في الصورة الكارتيزية، النقطة تقع على المستقيم فقط إذا تساوت النسب الثلاث جميعًا.
  • تقاطع مستقيمين يُبحث بحلّ معادلاتهما البارامترية معًا؛ فإن لم يوجد حلّ ولم يتوازيا فهما متخالفان.

دروس ذات صلة