ملخص معادلة المستقيم في الفراغ — ثالثة ثانوي

مقدمة

في المستوى يكفي ميل ونقطة لتحديد مستقيم، أما في الفراغ فلا يوجد «ميل» واحد يصف الاتجاه، فنستخدم متجهًا يوازي المستقيم. نقطة ومتجه اتجاه يحدّدان مستقيمًا واحدًا، ومن هذه الفكرة نكتب معادلته بثلاث صور، ونقيس الزاوية بين مستقيمين، ونعرف متى يتوازى مستقيمان أو يتقاطعان أو يكونان متخالفين.

أهداف التعلم

تحدّد متجه اتجاه مستقيم ونسب اتجاهه وجيوب تمام اتجاهه.
تكتب معادلة المستقيم بالصور المتجهية والبارامترية والكارتيزية وتنتقل بينها.
تحسب قياس الزاوية بين مستقيمين وتحدّد التوازي والتعامد.
تبحث تقاطع مستقيمين أو تخالفهما وتوجد بُعد نقطة عن مستقيم.

شرح الدرس

متجه الاتجاه ونسب الاتجاه

إذا مرّ المستقيم بالنقطتين $A$ و $B$ فإن $\vec{d} = \overrightarrow{AB} = B - A$ متجه اتجاه له، وكل متجه غير صفري يوازيه هو أيضًا متجه اتجاه لهذا المستقيم. فللمستقيم عدد لا نهائي من متجهات الاتجاه.

جيوب تمام الاتجاه $l, m, n$ هي جيوب تمام الزوايا التي يصنعها المستقيم مع المحاور الموجبة، ويحقق $l^2+m^2+n^2=1$ ، ومتجه الوحدة في اتجاه المستقيم هو $(l, m, n)$ .
نسب الاتجاه $a, b, c$ هي مركبات أي متجه اتجاه، وهي أعداد متناسبة مع $l, m, n$ .

الصورة المتجهية والبارامترية والكارتيزية

إذا مرّ المستقيم بالنقطة $A(x_0, y_0, z_0)$ وكان متجه اتجاهه $\vec{d} = (a, b, c)$ فإن كل نقطة $P(x, y, z)$ عليه تحقق $\overrightarrow{AP} = t\,\vec{d}$ ، أي:

(x, y, z) = (x_0, y_0, z_0) + t\,(a, b, c), \qquad t \in \mathbb{R}

وبمساواة المركبات نحصل على المعادلات البارامترية ( $t$ هو البارامتر):

x = x_0 + at, \qquad y = y_0 + bt, \qquad z = z_0 + ct

مستقيم في الفراغ يمر بالنقطة A ويوازي المتجه d، وكل نقطة P عليه يحدد موضعها العدد t

وبحذف $t$ (حين لا تساوي أي من $a, b, c$ صفرًا) نحصل على الصورة الكارتيزية:

\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}

وإذا كان أحد المقامات صفرًا، مثل $a = 0$ ، نكتب $x = x_0$ ونبقي على تساوي الكسرين الآخرين.

الزاوية بين مستقيمين

قياس الزاوية الصغرى $\theta$ بين مستقيمين متجها اتجاههما $\vec{d_1}$ و $\vec{d_2}$ :

\cos\theta = \frac{\left|\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}\right|}{\left|\vec{d_1}\right|\left|\vec{d_2}\right|}

يتوازى المستقيمان إذا كان $\vec{d_1} = k\,\vec{d_2}$ (نسب الاتجاه متناسبة). فإن كانت نقطة من أحدهما على الآخر انطبق المستقيمان.
يتعامد المستقيمان إذا كان $\vec{d_1}\cdot\vec{d_2} = 0$ .

تقاطع المستقيمات وتخالفها

إذا لم يتوازَ المستقيمان فإما أن يتقاطعا في نقطة وإما أن يكونا متخالفين، أي لا يتقاطعان ولا يتوازيان ولا يقعان في مستوى واحد. نكتب معادلة كل منهما بارامتريًّا ببارامترين مختلفين $t$ و $s$ ، ونساوي المركبات الثلاث. نحل معادلتين لإيجاد $t$ و $s$ ثم نتحقق من الثالثة: إن تحققت تقاطعا، وإن لم تتحقق فهما متخالفان.

المستقيم العمودي على مستقيم من نقطة وبُعد النقطة عنه

لإيجاد العمود من النقطة $P$ على مستقيم $L$ نكتب نقطة عامة $Q$ على $L$ بدلالة $t$ ، ونفرض $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{d} = 0$ لإيجاد $t$ ، فتكون $Q$ موضع العمود ويكون بُعد $P$ عن المستقيم هو $\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ .

تعريفات

متجه الاتجاه: متجه غير صفري يوازي المستقيم.
البارامتر: المتغير $t$ الذي تعطي كل قيمة له نقطة على المستقيم.
المستقيمان المتخالفان: مستقيمان لا يتقاطعان ولا يتوازيان.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين $A(1, -2, 4)$ و $B(3, 0, -2)$ بالصورة المتجهية.

الحل: $\overrightarrow{AB} = (2, 2, -6)$ ويكافئ المتجه $(1, 1, -3)$ . المعادلة: $(x, y, z) = (1, -2, 4) + t(1, 1, -3)$ .

مثال 2: مستقيم يمر بالنقطة $(2, 0, -1)$ ومتجه اتجاهه $(3, -2, 4)$ . اكتب معادلتيه البارامترية والكارتيزية، وبيّن هل النقطة $(5, -2, 3)$ تقع عليه.

الحل: $x = 2 + 3t$ و $y = -2t$ و $z = -1 + 4t$ . والكارتيزية $\dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{4}$ . بالتعويض بالنقطة: $\dfrac{3}{3} = 1$ و $\dfrac{-2}{-2} = 1$ و $\dfrac{4}{4} = 1$ فالنسب متساوية والنقطة على المستقيم ( $t=1$ ).

مثال 3: أوجد نقطة وجيوب تمام اتجاه المستقيم $\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y-3}{-1} = \dfrac{z}{4}$ .

الحل: يمر بالنقطة $(-1, 3, 0)$ ومتجه اتجاهه $(2, -1, 4)$ ومعياره $\sqrt{21}$ . جيوب التمام $\dfrac{2}{\sqrt{21}},\ \dfrac{-1}{\sqrt{21}},\ \dfrac{4}{\sqrt{21}}$ ومجموع مربعاتها $\dfrac{4+1+16}{21} = 1$ .

مثال 4: أوجد قياس الزاوية بين مستقيمين متجها اتجاههما $(1, -2, 2)$ و $(2, 3, 6)$ .

الحل: الضرب القياسي $2 - 6 + 12 = 8$ والمعياران $3$ و $7$ . فـ $\cos\theta = \dfrac{8}{21}$ ومنه $\theta \approx 67.6^\circ$ .

مثال 5: هل المستقيمان اللذان متجها اتجاههما $(2, -1, 3)$ و $(1, 5, 1)$ متعامدان؟ وهل $(2, -4, 6)$ يوازي $(-1, 2, -3)$ ؟

الحل: $2 - 5 + 3 = 0$ فهما متعامدان. أما $(2,-4,6) = -2\,(-1,2,-3)$ فهما متوازيان.

مثال 6 (تقاطع): هل يتقاطع $L_1: (1,2,0) + t(1,-1,2)$ مع $L_2: (1,-1,3) + s(2,1,1)$ ؟

الحل: غير متوازيين. المعادلات: $1 + t = 1 + 2s$ و $2 - t = -1 + s$ و $2t = 3 + s$ . من الأولى $t = 2s$ ، وبالتعويض في الثانية $2 - 2s = -1 + s$ فـ $s = 1$ و $t = 2$ . الثالثة: $4 = 3 + 1$ محققة، فيتقاطعان عند $(3, 0, 4)$ .

مثال 7 (تخالف): بيّن أن $L_1: (0,0,0) + t(1,1,1)$ و $L_2: (1,0,0) + s(0,1,0)$ متخالفان.

الحل: غير متوازيين. من $x$ : $t = 1$ ، ومن $z$ : $t = 0$ وهذا تناقض، فلا حل. إذن لا يتقاطعان وهما متخالفان.

مثال 8: أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة $P(3, 2, 1)$ ويقطع المستقيم $(x,y,z) = t(1,2,2)$ على التعامد، ثم بُعد $P$ عنه.

الحل: نفرض $Q(t, 2t, 2t)$ فيكون $\overrightarrow{PQ} = (t-3,\ 2t-2,\ 2t-1)$ . شرط التعامد: $(t-3) + 2(2t-2) + 2(2t-1) = 9t - 9 = 0$ فـ $t = 1$ و $Q(1,2,2)$ . $\overrightarrow{PQ} = (-2, 0, 1)$ فالمعادلة $(x,y,z) = (3,2,1) + s(-2,0,1)$ والبُعد $\sqrt{4+0+1} = \sqrt{5}$ .

ملاحظات مهمة

متجه الاتجاه غير وحيد، فكل مضاعف غير صفري له يعطي المستقيم نفسه.
استخدم بارامترين مختلفين $t$ و $s$ عند البحث في تقاطع مستقيمين.
في الصورة الكارتيزية تقع النقطة على المستقيم إذا تساوت النسب الثلاث معًا.
لإثبات التخالف يجب أولًا نفي التوازي ثم بيان عدم وجود حل مشترك.

المفاهيم الأساسية

نقطة ومتجه اتجاه يحدّدان المستقيم، ومعادلته $(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + t(a,b,c)$ .
$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ لجيوب تمام اتجاه أي مستقيم.
$\cos\theta = \dfrac{|\vec{d_1}\cdot\vec{d_2}|}{|\vec{d_1}||\vec{d_2}|}$ للزاوية بين مستقيمين.
مستقيمان متوازيان إذا تناسب الاتجاهان، ومتعامدان إذا كان الضرب القياسي صفرًا، ومتخالفان إذا لم يتوازيا ولم يشتركا في نقطة.

ملخص الدرس

يُحدَّد المستقيم في الفراغ بنقطة ومتجه اتجاه، وتُكتب معادلته متجهيًّا وبارامتريًّا وكارتيزيًّا. نحسب الزاوية بين مستقيمين بالضرب القياسي لمتجهي اتجاههما، ونبحث التقاطع بمساواة المعادلات البارامترية فإن لم يوجد حل وكانا غير متوازيين فهما متخالفان. ونجد بُعد نقطة عن مستقيم بإيجاد موضع العمود عليه.

أسئلة للتدريب

أوجد المعادلة المتجهية والكارتيزية للمستقيم المار بالنقطتين $(0, 3, -1)$ و $(4, 1, 5)$ .
أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين اللذين نسبا اتجاههما $(2, 2, 1)$ و $(1, -2, 2)$ .
أوجد قيمة $k$ التي تجعل المستقيمين المتجهين $(k, 2, -1)$ و $(3, -1, 4)$ متعامدين.
بيّن أن $(1,0,1) + t(2,1,0)$ و $(0,1,3) + s(1,2,-1)$ متخالفان.
أوجد بُعد النقطة $(1, 4, 0)$ عن المستقيم $(x,y,z) = t(1,2,2)$ .