أمثلة وتطبيقات

مثال 1: مجموع عددين موجبين $20$. أوجد العددين اللذين حاصل ضربهما أكبر ما يمكن.

الحل: العددان $x$ و$20 - x$ حيث $0 < x < 20$. $P(x) = x(20 - x) = 20x - x^2$ و$P'(x) = 20 - 2x = 0$ فـ $x = 10$. وبما أن $P''(x) = -2 < 0$ فهي قيمة عظمى. العددان $10$ و$10$ وأكبر حاصل ضرب $100$.

مثال 2: لدى مزارع $100$ م من السياج ليحيط أرضًا مستطيلة يحدها من جهة نهر لا يحتاج سياجًا. أوجد أكبر مساحة يمكن إحاطتها.

الحل: ليكن عرض المستطيل (الضلعان العموديان على النهر) $x$ وطوله $y$. القيد $2x + y = 100$ فـ $y = 100 - 2x$. $A(x) = 100x - 2x^2$ حيث $0 < x < 50$ و$A'(x) = 100 - 4x = 0$ فـ $x = 25$. $A'' = -4 < 0$ فهي عظمى و$y = 50$ وأكبر مساحة $25 \times 50 = 1250$ م².

مثال 3: صُنع صندوق مفتوح من أعلى بقص مربعات متطابقة طول ضلعها $x$ من أركان صفيحة مربعة طول ضلعها $12$ سم ثم ثني الجوانب. أوجد $x$ التي تجعل حجمه أكبر ما يمكن.

الحل: $V(x) = x(12 - 2x)^2$ حيث $0 < x < 6$. $V'(x) = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$ وتنعدم عند $x = 6$ (مرفوضة لأنها تجعل $V = 0$) أو $x = 2$. فالحجم الأكبر $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ سم³ عند $x = 2$ سم.

مثال 4: مستطيل مساحته $36$. أوجد بعديه اللذين يجعلان محيطه أصغر ما يمكن.

الحل: $xy = 36$ فـ $y = \dfrac{36}{x}$ و$P(x) = 2x + \dfrac{72}{x}$ حيث $x > 0$. $P'(x) = 2 - \dfrac{72}{x^2} = 0$ فـ $x = 6$ و$P''(x) = \dfrac{144}{x^3} > 0$ فهي صغرى. إذن $y = 6$ (مربع) وأصغر محيط $24$.

مثال 5: أوجد النقطة على المنحنى $y = \sqrt{x}$ الأقرب إلى النقطة $(4, 0)$.

الحل: مربع المسافة $D(x) = (x - 4)^2 + x = x^2 - 7x + 16$ حيث $x \ge 0$ (نصغّر مربع المسافة لأن له القيمة الصغرى نفسها). $D'(x) = 2x - 7 = 0$ فـ $x = 3.5$ و$D'' = 2 > 0$. النقطة الأقرب $\left(3.5, \sqrt{3.5}\right)$ والمسافة $\sqrt{3.75}$.

مثال 6 (علبة أسطوانية): علبة مغلقة على شكل أسطوانة دائرية قائمة حجمها $128\pi$ سم³. أوجد نصف قطرها وارتفاعها اللذين يجعلان مساحة سطحها الكلية أقل ما يمكن.

الحل: $\pi r^2 h = 128\pi$ فـ $h = \dfrac{128}{r^2}$. المساحة $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \dfrac{256\pi}{r}$ حيث $r > 0$. $S' = 4\pi r - \dfrac{256\pi}{r^2} = 0$ فـ $r^3 = 64$ أي $r = 4$ و$h = 8$. $S'' = 4\pi + \dfrac{512\pi}{r^3} > 0$ فهي صغرى. وأصغر مساحة $S = 2\pi(16) + 64\pi = 96\pi$ سم².

مثال 7 (قطاع دائري): سلك طوله $20$ سم يُثنى على شكل قطاع دائري. أوجد نصف قطره وقياس زاويته المركزية الذي يجعل مساحته أكبر ما يمكن.

الحل: محيط القطاع $2r + L = 20$ حيث $L$ طول القوس فـ $L = 20 - 2r$ و$0 < r < 10$. المساحة $A = \dfrac{1}{2}rL = 10r - r^2$ و$A' = 10 - 2r = 0$ فـ $r = 5$ و$A'' = -2 < 0$. فـ $L = 10$ والزاوية $\theta = \dfrac{L}{r} = 2$ راديان وأكبر مساحة $25$ سم².

مثال 8 (اقتصاد): تكلفة إنتاج $x$ وحدة هي $C(x) = 2x^2 + 200$ جنيه. أوجد عدد الوحدات الذي يجعل متوسط تكلفة الوحدة أقل ما يمكن.

الحل: متوسط التكلفة $\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x} = 2x + \dfrac{200}{x}$ حيث $x > 0$. $\bar{C}' = 2 - \dfrac{200}{x^2} = 0$ فـ $x = 10$ و$\bar{C}'' = \dfrac{400}{x^3} > 0$ فهي صغرى. أقل متوسط تكلفة $2(10) + 20 = 40$ جنيهًا للوحدة.