أسئلة: التكامل المحدد

الإجابة الصحيحة: مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنى $y=f(x)$ والمحور $x$ من $x=a$ إلى $x=b$

كما ورد في مفهوم التكامل المحدد: إذا كانت $f(x)\ge 0$ على $[a,b]$ فإن التكامل يمثل مساحة تلك المنطقة.

الإجابة الصحيحة: $F(b) - F(a)$

النظرية الأساسية: إذا كانت $f$ متصلة على $[a,b]$ و$F' = f$ فإن $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$، أي قيمة الدالة الأصلية عند الحد العلوي مطروحًا منها قيمتها عند الحد السفلي.

الإجابة الصحيحة: لأن ثابت التكامل يظهر في $F(b)$ و$F(a)$ بنفس القيمة فيُحذف عند الطرح

إذا استخدمنا $F(x) + C$ فإن $[F(b) + C] - [F(a) + C] = F(b) - F(a)$، فيُحذف الثابت عند الطرح.

الإجابة الصحيحة: 0

$\int_a^a f(x)\,dx = F(a) - F(a) = 0$، فالفترة طولها صفر.

الإجابة الصحيحة: $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$

$\int_b^a f(x)\,dx = F(a) - F(b) = -[F(b) - F(a)]$، فعكس حدي التكامل يغيّر الإشارة.

الإجابة الصحيحة: $\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx$

$[F(b) - F(a)] + [F(c) - F(b)] = F(c) - F(a)$، فيمكن تجزئة التكامل عند أي نقطة $b$.

الإجابة الصحيحة: $\alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx$

التكامل المحدد خطي: تكامل المجموع مجموع التكاملات، والثابت يخرج خارج التكامل.

الإجابة الصحيحة: تغيير حدّي التكامل إلى قيمتَي $u$ المقابلتين لـ $x=a$ و$x=b$ ثم الاستمرار في $u$

بعد التعويض $u=u(x)$ نحوّل الحدين إلى $u(a)$ و$u(b)$ ونكمل الحساب بدلالة $u$ مباشرة، دون الرجوع إلى المتغير $x$.

الإجابة الصحيحة: 12

$[x^3+2x]_0^2 = (8+4)-(0+0)=12$

الإجابة الصحيحة: $x^3+2x$

مشتقة $x^3 + 2x$ هي $3x^2 + 2$، فهي الدالة الأصلية المطلوبة.

الإجابة الصحيحة: 1

$[\ln x]_1^{e} = \ln e - \ln 1 = 1-0=1$

الإجابة الصحيحة: 1

$[\sin x]_0^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2}-\sin 0 = 1-0=1$

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}(e^2-1)$

الدالة الأصلية لـ $e^{2x}$ هي $\frac{1}{2}e^{2x}$، إذن $\int_0^1 e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{2}e^{0} = \frac{1}{2}(e^2-1)$.

الإجابة الصحيحة: من $u=1$ إلى $u=2$

عند $x=0$: $u=0^2+1=1$، وعند $x=1$: $u=1^2+1=2$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{15}{4}$

$\int_1^2 u^3\,du = [\frac{u^4}{4}]_1^2 = \frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$

الإجابة الصحيحة: 0

حدّا التكامل متساويان، والتكامل المحدد عند تساوي الحدين يساوي صفرًا دائمًا بصرف النظر عن الدالة.

الإجابة الصحيحة: يُحسب بإشارة سالبة، ولحساب المساحة الفعلية يجب تجزئة التكامل عند أصفار الدالة

عندما تكون $f(x) < 0$ يكون التكامل سالبًا، فلحساب المساحة الفعلية نجزئ التكامل عند أصفار الدالة ونأخذ القيمة المطلقة لكل جزء.

الإجابة الصحيحة: متصلة على $[a,b]$

يشترط تطبيق النظرية الأساسية أن تكون $f$ متصلة على $[a,b]$، فتكون لها دالة أصلية؛ ولا يشترط أن تكون متزايدة أو موجبة.

الإجابة الصحيحة: 8

بخاصية $\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx$: $5+3=8$

الإجابة الصحيحة: -7

بخاصية $\int_a^b f\,dx = -\int_b^a f\,dx$

الإجابة الصحيحة: $\frac{13}{2}$

نقسم الفترة عند $x=2$: $\int_0^2(2-x)dx=2$ و$\int_2^5(x-2)dx=\frac{9}{2}$ والمجموع $\frac{13}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $0$

الدالة $f(x)=\frac{x^3-3x}{x^2+4}$ فردية لأن $f(-x)=-f(x)$، وتكامل الدالة الفردية على فترة متماثلة $[-a,a]$ يساوي صفرًا.

الإجابة الصحيحة: $\frac{84}{5}$

الدالة زوجية فالتكامل $2\int_0^2(x^4-3x^2+5)dx=2\left[\frac{x^5}{5}-x^3+5x\right]_0^2=2\left(\frac{32}{5}-8+10\right)=\frac{84}{5}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{27-5\sqrt{5}}{3}$

نضع $u=x^2+5$ و$x\,dx=\frac{1}{2}du$ والحدان من $5$ إلى $9$: $\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_5^9=\frac{27-5\sqrt{5}}{3}$.

إذا كانت $F$ دالة أصلية للدالة المتصلة $f$ فالتكامل المحدد من $a$ إلى $b$ هو العدد $F(b)-F(a)$، ولا يتوقف على ثابت التكامل. وعندما تكون $f(x)\ge0$ على $[a,b]$ فإنه يساوي مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى $y=f(x)$ والمحور $x$ والمستقيمين $x=a$ و$x=b$.

إذا كانت $F$ دالة أصلية للدالة $f$ (أي $F'(x)=f(x)$) وكانت $f$ متصلة على $[a,b]$، فإن $\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)$. أي نوجد دالة أصلية $F$ للدالة تحت علامة التكامل، ثم نعوّض بالحد الأعلى $b$ ونطرح منه ناتج التعويض بالحد الأدنى $a$.

الدالة الأصلية لـ $3x^2+2$ هي $x^3+2x$ (نتحقق: مشتقة $x^3+2x$ تساوي $3x^2+2$). إذن $\int_0^2 (3x^2+2)\,dx = [x^3+2x]_0^2 = (2^3+2\times 2)-(0^3+2\times 0) = (8+4)-(0+0) = 12$.

الدالة الأصلية لـ $\frac{1}{x}$ هي $\ln x$. إذن $\int_1^{e} \frac{1}{x}\,dx = [\ln x]_1^{e} = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$.

الدالة الأصلية لـ $\cos x$ هي $\sin x$. إذن $\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx = [\sin x]_0^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$.

الدالة الأصلية لـ $e^{2x}$ هي $\frac{1}{2}e^{2x}$ (نتحقق: مشتقة $\frac{1}{2}e^{2x}$ تساوي $e^{2x}$). إذن $\int_0^1 e^{2x}\,dx = \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1 = \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{2}e^{0} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(e^2-1)$.

نضع $u = x^2+1$، فيكون $du = 2x\,dx$. نغيّر حدّي التكامل: عند $x=0$ يكون $u=0^2+1=1$، وعند $x=1$ يكون $u=1^2+1=2$. بالتعويض مباشرة في $u$ دون العودة إلى $x$: $\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx = \int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$.

1) عند تساوي حدّي التكامل: $\int_a^a f(x)\,dx = 0$. 2) عكس حدّي التكامل يغيّر إشارة الناتج: $\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$. 3) يمكن تجزئة فترة التكامل: $\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx$.

تنص خاصية الخطية على أن $\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]\,dx = \alpha\int_a^b f(x)\,dx + \beta\int_a^b g(x)\,dx$. هذه الخاصية مفيدة عمليًا لأنها تسمح بتفكيك تكامل مجموع أو فرق حدود (مضروبة في ثوابت) إلى تكاملات منفصلة أبسط، فنحسب تكامل كل حد على حدة ثم نجمع النتائج بعد ضرب كل منها في الثابت المناظر، بدلًا من التعامل مع التعبير المركّب دفعة واحدة.

عند حساب التكامل المحدد باستخدام دالة أصلية تحتوي على ثابت، فإن $\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)+c]_a^b = (F(b)+c) - (F(a)+c) = F(b) - F(a)$، أي أن الثابت $c$ يظهر في كل من قيمة الحد الأعلى وقيمة الحد الأدنى بنفس المقدار، فيُحذف تلقائيًا عند الطرح؛ ولذلك لا داعي لكتابته أصلًا في التكامل المحدد. أما إذا نزل جزء من المنحنى تحت المحور $x$ ضمن فترة التكامل، فإن قيمة التكامل على ذلك الجزء تكون سالبة (لأن $f(x)<0$)، وإذا حسبنا التكامل على الفترة كاملة دفعة واحدة فقد تتقاصّ الأجزاء الموجبة والسالبة فلا نحصل على المساحة الفعلية. لذلك يجب تجزئة التكامل عند أصفار الدالة (نقاط تقاطعها مع المحور $x$)، وحساب تكامل كل جزء على حدة، ثم أخذ القيمة المطلقة لناتج الأجزاء السالبة قبل جمعها جميعًا للحصول على المساحة الكلية الفعلية.

الدالة الأولى $f(x)=\frac{x^3-3x}{x^2+4}$ يحقق $f(-x)=\frac{-x^3+3x}{x^2+4}=-f(x)$ فهي فردية وتكاملها على $[-2,2]$ يساوي $0$. الدالة الثانية زوجية فالتكامل $2\int_0^2(x^4-3x^2+5)dx=2\left[\frac{x^5}{5}-x^3+5x\right]_0^2=2\left(\frac{32}{5}-8+10\right)=\frac{84}{5}$.

نكتب $|x-2|=2-x$ عندما $x<2$ و$|x-2|=x-2$ عندما $x\ge2$ ونجزّئ الفترة عند $2$: $\int_0^2(2-x)dx+\int_2^5(x-2)dx=\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_0^2+\left[\frac{x^2}{2}-2x\right]_2^5=2+\frac{9}{2}=\frac{13}{2}$.

نضع $u=x^2+5$ فـ $du=2x\,dx$. عند $x=0$ يكون $u=5$ وعند $x=2$ يكون $u=9$. التكامل $\frac{1}{2}\int_5^9u^{1/2}du=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_5^9=\frac{1}{3}\left(27-5\sqrt{5}\right)$.