أسئلة: النسبة بين حدين متتاليين من مفكوك ذات الحدين

الإجابة الصحيحة: $\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} = \frac{n - r}{r + 1} \cdot \frac{b}{a}$

هذه هي الصيغة المحورية: $\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} = \frac{n - r}{r + 1} \cdot \frac{b}{a}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{n - r}{r + 1}$

من المعلوم أن $\binom{n}{r+1} \div \binom{n}{r} = \frac{n - r}{r + 1}$.

الإجابة الصحيحة: $\binom{n}{r} a^{n-r} b^r$

عرّف الدرس الحدين المتتاليين بأن $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$.

الإجابة الصحيحة: $\left|\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}}\right| \ge 1$

نص الدرس: نضع الشرط $\left|\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}}\right| \ge 1$ ونحلّه في $r$.

الإجابة الصحيحة: متزايدة

نص الدرس: ما دامت النسبة أكبر من الواحد فإن الحدود متزايدة، وحين تصير أقل من الواحد تبدأ في التناقص.

الإجابة الصحيحة: القيمة المطلقة للنسبة

نص النقاط الرئيسية: عند تعويض قيمة سالبة للمتغير نستعمل القيمة المطلقة للنسبة عند البحث عن أكبر حد عدديًّا.

الإجابة الصحيحة: $a = 1$، $b = 2$

في الحل: هنا $a = 1$، و$b = 2x = 2$ بعد تعويض $x = 1$.

الإجابة الصحيحة: $2(10 - r) \ge r + 1$

نص الحل: $2(10 - r) \ge r + 1 \Rightarrow 20 - 2r \ge r + 1 \Rightarrow 19 \ge 3r \Rightarrow r \le 6.33$.

الإجابة الصحيحة: $r = 6$

أكبر عدد صحيح لا يتجاوز 6.33 هو 6.

الإجابة الصحيحة: $T_8$

أكبر حد هو $T_{r+2}$ عند $r = 6$، أي $T_8$.

الإجابة الصحيحة: 15360

$T_8 = \binom{10}{7} (1)^3 (2)^7 = 120 \times 128 = 15360$.

الإجابة الصحيحة: $T_7$ و$T_9$

نص التحقق: $T_7 = 13440$ و$T_9 = 11520$، وكلاهما أصغر من $T_8 = 15360$.

الإجابة الصحيحة: $\binom{n}{3} : \binom{n}{4}$

معامل الحد الرابع $= \binom{n}{3}$ (عند $r = 3$)، ومعامل الحد الخامس $= \binom{n}{4}$ (عند $r = 4$).

الإجابة الصحيحة: $\frac{4}{n - 3}$

عند $r = 3$: $\frac{r+1}{n-r} = \frac{3+1}{n-3} = \frac{4}{n-3}$.

الإجابة الصحيحة: 9

$\frac{4}{n-3} = \frac{2}{3} \Rightarrow 12 = 2(n-3) \Rightarrow n - 3 = 6 \Rightarrow n = 9$.

الإجابة الصحيحة: ربط أي حدٍّ بالحد الذي يسبقه دون حاجة لحساب الحدين كاملين

نص الدرس: هذه الصيغة تربط أي حدٍّ بالحد الذي يسبقه دون حساب الحدين كاملين، وهي أساس تطبيقات الدرس.

الإجابة الصحيحة: إيجاد أكبر حدٍّ عدديًّا، وإيجاد $n$ أو رتبة حدٍّ من نسبة معلومة بين المعاملات

نص الأهداف العامة للدرس يحدد هذين التطبيقين بوضوح.

الإجابة الصحيحة: وجود حدَّين متتاليين متساويين وكلاهما الأكبر

نص الملاحظات الختامية للدرس يوضح هذه الحالة الخاصة صراحةً.

الإجابة الصحيحة: $\binom{n}{r+1} a^{n-r-1} b^{r+1}$

نص الدرس: $T_{r+2} = \binom{n}{r+1} a^{n-r-1} b^{r+1}$.

الإجابة الصحيحة: استخدام القيمة العددية للمتغير داخل $b$

نص الملاحظات: في مسائل أكبر حد تأكّد من استخدام القيمة العددية للمتغير داخل $b$ قبل تكوين النسبة.

الإجابة الصحيحة: $\dfrac{n-r+1}{r}\cdot\dfrac{b}{a}$

تنتج بقسمة $\binom{n}{r}a^{n-r}b^{r}$ على $\binom{n}{r-1}a^{n-r+1}b^{r-1}$.

الإجابة الصحيحة: $\dfrac{7}{x}$

بوضع $r=3$: $\frac{9-3+1}{3}\cdot\frac{3}{x} = \frac{7}{x}$.

الإجابة الصحيحة: $T_7$

$\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{3(9-r)}{r} \ge 1$ يعطي $r \le 6.75$، فأكبر قيمة صحيحة $r=6$ والحد الأكبر $T_7 = 28 \times 729 = 20412$.

في مفكوك $(a + b)^n$ الحدّان المتتاليان هما $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$، و$T_{r+2} = \binom{n}{r+1} a^{n-r-1} b^{r+1}$. بقسمة الثاني على الأول: $\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} = \frac{\binom{n}{r+1}}{\binom{n}{r}} \cdot \frac{b}{a}$ ومن خواص التوافيق: $\binom{n}{r+1} \div \binom{n}{r} = \frac{n - r}{r + 1}$، وبالتعويض نحصل على الصيغة النهائية: $\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} = \frac{n - r}{r + 1} \cdot \frac{b}{a}$ وهذه الصيغة تربط أي حدٍّ بالحد الذي يسبقه دون الحاجة لحساب الحدين كاملين.

1) نكوّن النسبة $\left|\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}}\right|$ بدلالة $r$. 2) نضع الشرط $\left|\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}}\right| \ge 1$ ونحلّه في $r$. 3) نحدد أكبر قيمة صحيحة لـ $r$ تحقّق الشرط، فيكون الحد $T_{r+2}$ عند تلك القيمة هو أكبر حدٍّ عدديًّا (أو أحد حدَّين متساويين إذا تحققت المساواة التامة). 4) نحسب قيمة ذلك الحد بالتعويض المباشر.

هنا $a = 1$، و$b = 2x = 2$ (عند $x=1$)، و$n = 10$. نكوّن النسبة: $\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} = \frac{10 - r}{r + 1} \cdot 2$ نضع الشرط $\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} \ge 1$: $2(10 - r) \ge r + 1 \Rightarrow 20 - 2r \ge r + 1 \Rightarrow 19 \ge 3r \Rightarrow r \le 6.33$ أكبر قيمة صحيحة لـ $r$ هي $r = 6$، فيكون أكبر الحدود هو $T_8$ (أي $r + 2 = 8$). $T_8 = \binom{10}{7} (1)^3 (2)^7 = 120 \times 128 = 15360$ وللتحقق: $T_7 = \binom{10}{6}(2)^6 = 210 \times 64 = 13440$، و$T_9 = \binom{10}{8}(2)^8 = 45 \times 256 = 11520$، وكلاهما أصغر من $T_8$، فيتأكد أن أكبر حدٍّ عدديًّا هو $T_8 = 15360$.

معامل الحد الرابع $= \binom{n}{3}$ (عند $r=3$)، ومعامل الحد الخامس $= \binom{n}{4}$ (عند $r=4$). باستخدام صيغة نسبة المعاملات $\frac{\binom{n}{r}}{\binom{n}{r+1}} = \frac{r + 1}{n - r}$ عند $r = 3$: $\frac{\binom{n}{3}}{\binom{n}{4}} = \frac{3 + 1}{n - 3} = \frac{4}{n - 3}$ نساوي هذه النسبة بالنسبة المعطاة $\frac{2}{3}$: $\frac{4}{n - 3} = \frac{2}{3} \Rightarrow 12 = 2(n - 3) \Rightarrow n - 3 = 6 \Rightarrow n = 9$

لأننا نبحث عن أكبر حدٍّ في القيمة المطلقة (أي في المقدار العددي بصرف النظر عن الإشارة)، وعند تعويض قيمة سالبة للمتغير قد تصبح النسبة $\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}}$ سالبة الإشارة نتيجة سالبية $b$، فلو استخدمنا النسبة بإشارتها مباشرة قد نحصل على نتائج مضلِّلة حول اتجاه التزايد أو التناقص. لذلك نأخذ القيمة المطلقة $\left|\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}}\right|$ لضمان أن المقارنة تتم على أساس المقدار العددي للحدود فقط، بغضّ النظر عن إشارة كل حدٍّ.

$T_8 = \binom{10}{7} (2)^7 = 120 \times 128 = 15360$. $T_7 = \binom{10}{6} (2)^6 = 210 \times 64 = 13440$، وهو أصغر من $T_8$. $T_9 = \binom{10}{8} (2)^8 = 45 \times 256 = 11520$، وهو أيضًا أصغر من $T_8$. بما أن الحدَّين المجاورين لـ $T_8$ (وهما $T_7$ و$T_9$) أصغر منه، فهذا يؤكد أن $T_8 = 15360$ هو بالفعل أكبر حدٍّ عدديًّا في المفكوك.

صيغة نسبة المعاملين: $\binom{n}{r+1} \div \binom{n}{r} = \frac{n - r}{r + 1}$. تُستخدم هذه الصيغة عند اشتقاق النسبة بين حدين متتاليين، حيث إن $\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} = \frac{\binom{n}{r+1}}{\binom{n}{r}} \cdot \frac{b}{a}$، فبتعويض نسبة المعاملين بالصيغة $\frac{n-r}{r+1}$ نصل مباشرة إلى الصيغة النهائية $\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} = \frac{n - r}{r + 1} \cdot \frac{b}{a}$ دون الحاجة لحساب الحدين كاملين بمعاملاتهما وقواهما.

ما دامت النسبة (بالقيمة المطلقة) $\left|\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}}\right|$ أكبر من الواحد، فإن هذا يعني أن الحد التالي أكبر من الحد السابق له، أي أن الحدود في تزايد مستمر. وحين تصبح هذه النسبة أقل من الواحد، يصبح الحد التالي أصغر من الحد السابق، أي أن الحدود بدأت في التناقص. وبما أن الحدود تتزايد ثم تتناقص، فإن أكبر حدٍّ عدديًّا يقع بالضبط عند نقطة الانتقال بين هاتين المرحلتين، أي عند أكبر قيمة صحيحة لـ $r$ تحقّق الشرط $\left|\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}}\right| \ge 1$؛ فالحد $T_{r+2}$ عند تلك القيمة هو الأكبر.

إذا تحققت المساواة التامة عند قيمة صحيحة لـ $r$، فإن هذا يعني أن الحدَّين المتتاليين عند تلك النقطة متساويان تمامًا في القيمة العددية (أي $|T_{r+2}| = |T_{r+1}|$)، بدلًا من أن يكون أحدهما أكبر من الآخر بشكل قاطع. وفي هذه الحالة الخاصة لا يكون هناك حدٌّ واحد أكبر من غيره، بل يكون هناك حدَّان متتاليان متساويان في القيمة العددية، وكلاهما يُعدّ أكبر حدٍّ عدديًّا في المفكوك.

عند إعطاء علاقة بين معاملات حدود متتالية (كنسبة معامل حدٍّ إلى معامل الحد الذي يليه)، نستخدم صيغة نسبة المعاملات $\frac{\binom{n}{r}}{\binom{n}{r+1}} = \frac{r + 1}{n - r}$. نحدد أولًا قيمة $r$ المناسبة لرتبتَي الحدَّين المذكورَين في المعطيات (حيث الحد رقم $k$ يقابله $r = k - 1$)، ثم نعوّض بها في الصيغة، ونساوي الناتج بالنسبة المعطاة في السؤال، فنحصل على معادلة في $n$ نحلها لإيجاد قيمته. ويمكن استخدام الأسلوب نفسه لإثبات أن معاملات حدود معيّنة تكوّن تتابعًا حسابيًّا، أو لإيجاد رتبة الحد الأوسط ومقارنته بغيره.

نفرض أن الحدود $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$. النسبة $\frac{84}{36} = \frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3}$ فينتج $3n+3 = 10r$. والنسبة $\frac{126}{84} = \frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2}$ فينتج $2n = 5r+3$. من المعادلتين $n = \frac{10r-3}{3}$ ونعوض: $\frac{2(10r-3)}{3} = 5r+3$ أي $20r - 6 = 15r + 9$ ومنه $r = 3$ و$n = 9$. الحدود هي $T_3, T_4, T_5$ ويتحقق ذلك لأن $\binom{9}{2}=36$ و$\binom{9}{3}=84$ و$\binom{9}{4}=126$.