الأهداف العامة

• أن يتعرّف الطالب على المحاور والمستويات الإحداثية في الفراغ وموضع النقطة فيه.
• أن يحسب البُعد بين نقطتين وإحداثيات منتصف قطعة مستقيمة ونقطة تقسيمها بنسبة معطاة.
• أن يكتب معادلة الكرة بمعلومية مركزها ونصف قطرها.

المحتوى الرئيسي

المحاور والمستويات الإحداثية

يتكوّن النظام في الفراغ من ثلاثة محاور مستقيمة $x$ و$y$ و$z$، متعامدة مثنى مثنى وتتلاقى في نقطة الأصل $O$. تُحدَّد أي نقطة $P$ في الفراغ بثلاثية مرتّبة $P(x, y, z)$، حيث $x$ بُعدها عن مستوى $yz$، و$y$ بُعدها عن مستوى $zx$، و$z$ بُعدها عن مستوى $xy$ (مع مراعاة الإشارة).

كل زوج من المحاور يحدّد مستوًى إحداثيًّا: مستوى $xy$ (معادلته $z = 0$)، ومستوى $yz$ (معادلته $x = 0$)، ومستوى $zx$ (معادلته $y = 0$). وتقسم هذه المستويات الفراغ إلى ثمانية أقسام تُسمّى الأثمان.

البُعد بين نقطتين

البُعد بين $A(x_1, y_1, z_1)$ و$B(x_2, y_2, z_2)$ هو امتداد مباشر لنظرية فيثاغورس إلى ثلاثة أبعاد:

منتصف قطعة ونقطة تقسيمها

منتصف القطعة $\overline{AB}$ إحداثياته متوسّطات إحداثيات الطرفين:

أما نقطة التقسيم الداخلي التي تقسم $\overline{AB}$ من جهة $A$ بالنسبة $m : n$ فإحداثياتها:

معادلة الكرة

الكرة هي محلّ النقاط التي تبعد بُعدًا ثابتًا $r$ (نصف القطر) عن نقطة ثابتة $(a, b, c)$ (المركز). بتطبيق صيغة البُعد وتربيع الطرفين:

وعند فكّ الأقواس تأخذ الصورة العامة $x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0$.