أسئلة: النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد

الإجابة الصحيحة: 3

النظام الإحداثي في الفراغ يتكوّن من ثلاثة محاور مستقيمة $x$، $y$، $z$ متعامدة مثنى مثنى.

الإجابة الصحيحة: نقطة الأصل $O$

المحاور الثلاثة متعامدة مثنى مثنى وتتلاقى في نقطة الأصل $O$.

الإجابة الصحيحة: $z = 0$

مستوى $xy$ معادلته $z = 0$.

الإجابة الصحيحة: $x = 0$

مستوى $yz$ معادلته $x = 0$.

الإجابة الصحيحة: $y = 0$

مستوى $zx$ معادلته $y = 0$.

الإجابة الصحيحة: 8 أقسام

تقسم المستويات الإحداثية الثلاثة الفراغ إلى ثمانية أقسام تُسمّى الأثمان.

الإجابة الصحيحة: مستوى $xy$

$z$ يمثّل بُعد النقطة عن مستوى $xy$ (مع مراعاة الإشارة).

الإجابة الصحيحة: مستوى $yz$

$x$ يمثّل بُعد النقطة عن مستوى $yz$.

الإجابة الصحيحة: مستوى $zx$

$y$ يمثّل بُعد النقطة عن مستوى $zx$.

الإجابة الصحيحة: $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

البُعد بين نقطتين في الفراغ هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات الفروق بين الإحداثيات المتناظرة، امتدادًا لنظرية فيثاغورس.

الإجابة الصحيحة: $5$

$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5$.

الإجابة الصحيحة: $13$

$CD = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

الإجابة الصحيحة: $5$

$AB = \sqrt{(2-2)^2 + (3-(-1))^2 + (0-3)^2} = \sqrt{0 + 16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{41}$

$AB = \sqrt{(3-(-1))^2 + (-1-2)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{16 + 9 + 16} = \sqrt{41}$.

الإجابة الصحيحة: متوسط إحداثيات طرفيها

منتصف القطعة $\overline{AB}$ إحداثياته متوسّطات إحداثيات الطرفين.

الإجابة الصحيحة: $(4,\ 1,\ 2)$

$M = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{-1+3}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = (4, 1, 2)$.

الإجابة الصحيحة: $(3,\ -2,\ 4)$

$M = \left(\frac{0+6}{2}, \frac{0-4}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (3, -2, 4)$.

الإجابة الصحيحة: $4$

بُعد النقطة عن مستوى $xz$ (الذي معادلته $y = 0$) يساوي $|y| = |-4| = 4$.

الإجابة الصحيحة: $(-2,\ 0,\ 7)$

$A = 2M - B = (2-4,\ -2+2,\ 8-1) = (-2, 0, 7)$، ويتحقق أن متوسط $A$ و$B$ هو $M$.

الإجابة الصحيحة: الاتجاه الموجب لمحور $z$

هذه هي قاعدة اليد اليمنى لتعيين اتجاه المحور الثالث في النظام الإحداثي المتعامد.

يتكوّن النظام الإحداثي في الفراغ من ثلاثة محاور مستقيمة $x$، $y$، $z$ متعامدة مثنى مثنى وتتلاقى في نقطة الأصل $O$. وكل زوج من هذه المحاور يحدّد مستوى إحداثيًا: مستوى $xy$ ومعادلته $z=0$، ومستوى $yz$ ومعادلته $x=0$، ومستوى $zx$ ومعادلته $y=0$.

الأثمان هي الأقسام الثمانية التي تنتج عن تقسيم الفراغ بالمستويات الإحداثية الثلاثة ($xy$، $yz$، $zx$) بعضها ببعض؛ فكل مستوى يقسم الفراغ إلى جزأين، وتقاطع المستويات الثلاثة معًا يقسّم الفراغ كاملاً إلى ثمانية أقسام.

صيغة البُعد بين $A(x_1,y_1,z_1)$ و$B(x_2,y_2,z_2)$ هي: $AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.\nبالتعويض: $AB = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9+16+0} = \sqrt{25} = 5$.

$AB = \sqrt{(2-(-2))^2 + (0-3)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{16+9+0} = \sqrt{25} = 5$.

منتصف القطعة $\overline{AB}$ إحداثياته متوسّطات إحداثيات الطرفين: $M = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{-1+3}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{2}{2}, \frac{4}{2}\right) = (4, 1, 2)$.

$AB^2 = 4+4+1 = 9$ و$AC^2 = 4+1+4 = 9$ و$BC^2 = 0+9+9 = 18$. بما أن $AB = AC = 3$ فالمثلث متساوي الساقين. وبما أن $AB^2 + AC^2 = 18 = BC^2$ فبعكس نظرية فيثاغورس المثلث قائم الزاوية في $A$.

نفرض $A(x,y,z)$. إحداثيات المنتصف تساوي متوسط إحداثيات الطرفين: $\frac{x+4}{2}=1$ فـ $x=-2$، و$\frac{y-2}{2}=-1$ فـ $y=0$، و$\frac{z+1}{2}=4$ فـ $z=7$. إذن $A(-2,0,7)$.

الرؤوس: $(0,0,0)$ و$(3,0,0)$ و$(0,3,0)$ و$(0,0,3)$ و$(3,3,0)$ و$(3,0,3)$ و$(0,3,3)$ و$(3,3,3)$. القطر هو الواصل بين $(0,0,0)$ و$(3,3,3)$ وطوله $\sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

نتحرك من الأصل وحدتين في الاتجاه السالب لمحور $x$، ثم ثلاث وحدات في الاتجاه الموجب لمحور $y$، ثم وحدتين لأعلى موازيًا محور $z$. بُعدها عن المستوى $xy$ ($z=0$) يساوي $|2|=2$، وعن المستوى $xz$ ($y=0$) يساوي $|3|=3$، وعن المستوى $yz$ ($x=0$) يساوي $|-2|=2$.

البعد عن الأصل $\sqrt{1^2+2^2+k^2}=3$ ومنه $5 + k^2 = 9$ أي $k^2 = 4$ وبالتالي $k = 2$ أو $k = -2$.