ملخص ازدواجية الموجة والجسيم — ثالثة ثانوي

مقدمة

كل ما درسناه حتى الآن يندرج تحت الفيزياء الكلاسيكية، وهي ناجحة في مشاهداتنا اليومية. لكن عند المستوى الذري ودون الذري تظهر ظواهر تعجز عن تفسيرها، ولها يتصدى فرع الفيزياء الحديثة المسمى فيزياء الكم، وهو أساس نظم الإلكترونيات ودراسة سلوك الجزيئات. في هذا الفصل نرى كيف ظهر أن للضوء طبيعة جسيمية وللجسيمات طبيعة موجية.

أهداف التعلم

تفسر إشعاع الجسم الأسود وفرض بلانك وقانون فين.
تحسب طاقة الفوتون وكمية حركته وكتلته المكافئة.
تشرح التأثير الكهروضوئي وتطبق معادلة أينشتين.
تفسر ظاهرة كومتون وتتعرف الطبيعة الموجية للجسيمات وتحسب طول موجة دي برولي.
تذكر تطبيقات منها المجهر الإلكتروني والتصوير الحراري.

شرح الدرس

إشعاع الجسم الأسود

الضوء المرئي جزء من الطيف الكهرومغناطيسي الذي تنتشر موجاته في الفراغ بسرعة $c = 3 \times 10^8\ \text{m/s}$ دون حاجة إلى وسط. والأجسام الساخنة (الشمس، الفحم المتقد، فتيلة المصباح) تشع ضوءًا وحرارة، ولا تشع الأطوال الموجية بالقدر نفسه، ويبين منحنى بلانك شدة الإشعاع عند كل طول موجي. ووجد أن الطول الموجي ذا أقصى شدة إشعاع يتناسب عكسيًا مع درجة الحرارة المطلقة (قانون فين): كلما ارتفعت درجة الحرارة قصر الطول الموجي الأقصى شدة. فسطح الشمس ( $6000\ \text{K}$ ) أقصى شدة عند نحو $500\ \text{nm}$ (في المرئي)، وفتيلة المصباح ( $3000\ \text{K}$ ) عند نحو $1000\ \text{nm}$ (تحت الحمراء) فمعظم طاقتها حرارة. وتقترب الشدة من الصفر عند الأطوال الطويلة جدًا والقصيرة جدًا، وهذا يخالف توقع الفيزياء الكلاسيكية بأن الشدة تزداد بزيادة التردد.

والجسم الأسود يمتص كل إشعاع يسقط عليه (ممتص مثالي) ويعيد إشعاعه بصورة مثالية، ونمثله بتجويف مغلق به ثقب صغير يبدو أسود لأن الإشعاع الداخل يظل محصورًا بالانعكاسات. وتستخدم الأجسام الساخنة في الاستشعار عن بعد (أقمار تصور الأرض بمناطق مختلفة من الطيف، ومنها تحت الحمراء، لتحديد الثروات الطبيعية) والرؤية الليلية والتصوير الحراري في الطب.

فرض بلانك والفوتون

فسر بلانك (1900) الإشعاع بفرض أن الطاقة تصدر عن تذبذب الذرات في دفقات صغيرة منفصلة تسمى كوانتم (الكم) أو فوتون، فالجسم المتوهج فيض هائل من الفوتونات. وطاقة الفوتون $E = h\nu$ حيث $h = 6.625 \times 10^{-34}\ \text{J·s}$ ثابت بلانك و $\nu$ التردد. فمستويات طاقة الذرة مكماة غير متصلة، ولا تشع الذرة وهي في مستوى واحد، وعندما تنتقل من مستوى طاقته $E_2$ إلى أقل $E_1$ تُصدر فوتونًا طاقته $h\nu = E_2 - E_1$ . وبما أن الإشعاع بلايين الفوتونات لا نلاحظها منفصلة فتظهر الخواص الموجية.

الانبعاث الحراري والتأثير الكهروضوئي

في الفلز إلكترونات حرة لكن تجذبها الأيونات للداخل (حاجز جهد السطح). تخرج الإلكترونات إذا أُعطيت طاقة. فإذا كانت حرارية فهو الانبعاث الحراري كما في أنبوبة أشعة المهبط (CRT) في شاشة التلفاز: مهبط (كاثود) تسخن فتيلته فتنطلق الإلكترونات إلى مصعد (أنود) وإلى شاشة فلورية تضيء عند سقوطها، وتتحكم شبكة ذات جهد سالب في شدة الحزمة وتوجه مجالات كهربية أو مغناطيسية مسارها.

وإذا سقط ضوء على الكاثود في الخلية الكهروضوئية مر تيار؛ فالإلكترونات تحررت بفعل الضوء، وهذا التأثير الكهروضوئي. تتنبأ النظرية الكلاسيكية (الضوء موجات) بأن شدة التيار والطاقة الحركية تزداد مع شدة الإضاءة أيًا كان التردد، وأن إضاءة ضعيفة طويلة تكفي، لكن التجربة تقول:

لا تنطلق إلكترونات إلا إذا كان التردد أكبر من تردد حرج $\nu_0$ مهما كانت الشدة؛ وفوقه يزداد التيار بزيادة الشدة.
تتوقف الطاقة الحركية للإلكترونات المنطلقة على التردد لا على الشدة.
الانطلاق لحظي دون فترة انتظار حتى مع الشدة الضعيفة.

فسر أينشتين ذلك (ونال نوبل 1921): الفوتون طاقته $h\nu$ يحرر إلكترونًا إذا زادت طاقته عن دالة الشغل $E_0 = h\nu_0$ وهي أقل طاقة تحرر الإلكترون من سطح الفلز. وما زاد يظهر طاقة حركية: $\tfrac{1}{2}mv^2 = h\nu - h\nu_0$ فإذا كانت $h\nu < E_0$ لم يتحرر إلكترون مهما زادت الشدة. وتتوقف $\nu_0$ على نوع الفلز فقط، لا على شدة الضوء ولا زمن التعرض ولا فرق الجهد بين المهبط والمصعد.

العلاقة بين الطاقة الحركية العظمى للإلكترونات المتحررة وتردد الضوء الساقط، وانعدام الانبعاث تحت التردد الحرج

ظاهرة كومتون

عندما يسقط فوتون أشعة إكس أو جاما على إلكترون حر يقل تردد الفوتون ويتغير اتجاهه. لا تفسر ذلك النظرية الموجية، لكن يفسره اعتبار الفوتونات جسيمات تتصادم مع الإلكترون كالكرات، مع بقاء كمية الحركة وبقاء الطاقة (طاقة الفوتون والإلكترون قبل التصادم = بعده). فللفوتون كمية حركة كالجسيم.

خواص الفوتون

الفوتون كم طاقة مركز في حيز صغير جدًا، له كمية حركة، ويتحرك دائمًا بسرعة الضوء $c$ مهما كان التردد. ومن علاقة أينشتين $E = mc^2$ تكون الكتلة المكافئة لفوتون $m = \dfrac{h\nu}{c^2}$ وكمية حركته $p = mc = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda}$ ومنها $\lambda = \dfrac{h}{p}$ . وإذا انعكست حزمة قدرتها $P_w$ عن سطح فتغيرت كمية حركة كل فوتون بمقدار $2mc$ تكون القوة المؤثرة $F = \dfrac{2P_w}{c}$ ، وهي صغيرة جدًا على الأجسام الكبيرة لكن أثرها كبير على إلكترون حر. ونستخدم النموذج الجسيمي (الفوتون) عندما تكون أبعاد العائق في حدود الطول الموجي (إلكترون أو ذرة)، والموجي عندما يكون العائق أكبر بكثير منه.

الطبيعة الموجية للجسيمات

وضع دي برولي (1923) فرضًا مماثلًا بدافع التماثل في الطبيعة: كل جسيم له طبيعة موجية طولها $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ فالشعاع الإلكتروني مجموعة هائلة من الإلكترونات لها موجة مصاحبة تدل شدتها على تركيز الإلكترونات، ولها خواص الموجات كالحيود والتداخل (حيود الإلكترونات في شق مزدوج). لكن الجسيمات الكبيرة طول موجتها ضئيل جدًا لكبر كتلتها فلا يظهر أثرها الموجي.

المجهر الإلكتروني يعتمد على الطبيعة الموجية للإلكترونات؛ وهو كالمجهر الضوئي لكنه يستخدم شعاعًا إلكترونيًا وعدسات مغناطيسية، وقدرته على التحليل أكبر كثيرًا لأن الإلكترونات المعجلة تحمل طاقة حركية عالية فيكون طول موجتها أقصر ألف مرة أو أكثر من الضوء، فيرصد أجسامًا دقيقة جدًا. وسرعة إلكترون عجله فرق جهد $V$ تُحسب من $\tfrac{1}{2}mv^2 = eV$ .

تعريفات

الفوتون (الكم): وحدة منفصلة من الطاقة الكهرومغناطيسية $h\nu$ .
الجسم الأسود: ممتص ومشع مثالي.
دالة الشغل: أقل طاقة تلزم لتحرير إلكترون من سطح الفلز $h\nu_0$ .
التردد الحرج: أقل تردد يحرر الإلكترونات من فلز.
ازدواجية الموجة والجسيم: سلوك الضوء والمادة موجيًا وجسيميًا حسب نوع التجربة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: احسب طاقة فوتون ضوء طوله الموجي $600\ \text{nm}$ .

الحل: $E = \dfrac{hc}{\lambda} = \dfrac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6 \times 10^{-7}} = 3.31 \times 10^{-19}\ \text{J}$ ( $\approx 2.07\ \text{eV}$ ).

مثال 2: تردد حرج لفلز $5 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ سقط عليه ضوء تردده $7 \times 10^{14}\ \text{Hz}$ . احسب الطاقة الحركية العظمى للإلكترونات.

الحل: $\text{KE} = h(\nu - \nu_0) = 6.625 \times 10^{-34} \times 2 \times 10^{14} = 1.325 \times 10^{-19}\ \text{J}$ .

مثال 3: ضوء تردده أقل من التردد الحرج وشدته كبيرة جدًا. هل تتحرر إلكترونات؟

الحل: لا، لأن طاقة كل فوتون أقل من دالة الشغل مهما زاد عدد الفوتونات (الشدة)، فلا يتحرر إلكترون.

مثال 4: احسب كمية حركة فوتون طوله الموجي $500\ \text{nm}$ وكتلته المكافئة.

الحل: $p = \dfrac{h}{\lambda} = \dfrac{6.625 \times 10^{-34}}{5 \times 10^{-7}} = 1.325 \times 10^{-27}\ \text{kg·m/s}$ ، و $m = \dfrac{p}{c} = 4.42 \times 10^{-36}\ \text{kg}$ .

مثال 5: القوة التي يؤثر بها شعاع قدرته $3\ \text{W}$ عند انعكاسه عن سطح.

الحل: $F = \dfrac{2P_w}{c} = \dfrac{2 \times 3}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-8}\ \text{N}$ (ضئيلة جدًا).

مثال 6: احسب طول موجة دي برولي لكرة كتلتها $0.2\ \text{kg}$ بسرعة $10\ \text{m/s}$ ولإلكترون سرعته $10^6\ \text{m/s}$ .

الحل: للكرة $\lambda = \dfrac{6.625 \times 10^{-34}}{0.2 \times 10} = 3.3 \times 10^{-34}\ \text{m}$ (لا يُرصد). للإلكترون $\lambda = \dfrac{6.625 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 10^6} = 7.28 \times 10^{-10}\ \text{m}$ .

مثال 7: جسم درجة حرارته $3000\ \text{K}$ أقصى شدة إشعاع له عند $1000\ \text{nm}$ . أين تكون أقصى شدة عند $6000\ \text{K}$ ؟

الحل: $\lambda_m T$ ثابت، فـ $\lambda_m = \dfrac{1000 \times 3000}{6000} = 500\ \text{nm}$ .

مثال 8: محطة إرسال قدرتها $10\ \text{kW}$ وترددها $100\ \text{MHz}$ . كم فوتونًا تبث في الثانية؟

الحل: طاقة الفوتون $h\nu = 6.625 \times 10^{-34} \times 10^8 = 6.625 \times 10^{-26}\ \text{J}$ ، فالعدد $\dfrac{10^4}{6.625 \times 10^{-26}} \approx 1.5 \times 10^{29}$ فوتون/ث.

ملاحظات مهمة

شدة الضوء تحدد عدد الإلكترونات المتحررة (التيار) لا طاقتها، والتردد يحدد الطاقة الحركية.
الإلكترون يمتص فوتونًا واحدًا في كل مرة، ولا تتجمع طاقات عدة فوتونات.
كلما زادت درجة الحرارة قصر الطول الموجي ذو أقصى شدة.
الفوتون ليس له كتلة سكون، ويتحرك بسرعة $c$ فقط.
في ظاهرة كومتون يقل تردد الفوتون المتشتت (يزداد طوله الموجي).

المفاهيم الأساسية

$E = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda}$ و $h = 6.625 \times 10^{-34}\ \text{J·s}$ .
$\tfrac{1}{2}mv^2 = h\nu - h\nu_0$ .
$p = \dfrac{h}{\lambda}$ و $F = \dfrac{2P_w}{c}$ .
$\lambda = \dfrac{h}{mv}$ للجسيم.

ملخص الدرس

عجزت الفيزياء الكلاسيكية عن تفسير إشعاع الجسم الأسود والتأثير الكهروضوئي وظاهرة كومتون، ففُسرت بأن الضوء فوتونات طاقة كل منها $h\nu$ لها كمية حركة. وللجسيمات طبيعة موجية طولها $\lambda = h/mv$ ، ومن ثمارها المجهر الإلكتروني. فللضوء والمادة طبيعة مزدوجة.

أسئلة للتدريب

لماذا فشلت النظرية الموجية في تفسير التأثير الكهروضوئي وكيف فسره أينشتين؟
كيف يثبت إشعاع الجسم الأسود الخاصية الجسيمية للضوء؟
اشرح ظاهرة كومتون ولماذا هي دليل على الطبيعة الجسيمية.
احسب طاقة فوتون طوله الموجي $400\ \text{nm}$ .
لماذا يميز المجهر الإلكتروني تفاصيل أدق من المجهر الضوئي؟