أسئلة: عزم قوة بالنسبة لنقطة في نظام إحداثي ثنائي الأبعاد

الإجابة الصحيحة: نيوتن.متر

العزم حاصل ضرب القوة (نيوتن) في ذراعها (متر).

الإجابة الصحيحة: صفرًا

ذراع القوة العمودي $d = 0$ فالعزم $F \times d = 0$.

الإجابة الصحيحة: عكس اتجاه دوران عقارب الساعة

الاصطلاح المتبع: العزم الموجب يدير عكس عقارب الساعة، والسالب يديره معها.

الإجابة الصحيحة: $400$ نيوتن.سم

$\|M\| = F \times d = 50 \times 8 = 400$ نيوتن.سم.

الإجابة الصحيحة: $5$ نيوتن.متر

$M_O = xF_y - yF_x = (2)(10) - (3)(5) = 5$ نيوتن.متر.

الإجابة الصحيحة: $20$ نيوتن.متر

$M_O = (4)(5) - (0)(0) = 20$، وهو موجب لأن القوة ترفع الجسم يمين الأصل (دوران عكس عقارب الساعة).

الإجابة الصحيحة: $-20$ نيوتن.متر

$M_O = (1)(-10) - (1)(10) = -20$ نيوتن.متر، أي بمعيار $20$ ودورانًا مع عقارب الساعة.

الإجابة الصحيحة: $6$ نيوتن.متر

الذراع $d = 0.6\sin 30^\circ = 0.3$ م، فالعزم $20 \times 0.3 = 6$ نيوتن.متر.

الإجابة الصحيحة: مجموع عزمي مركبتيها بالنسبة للنقطة نفسها

عزم القوة = عزم $F_x$ + عزم $F_y$ حول النقطة نفسها، وهي تفسير الصيغة $xF_y - yF_x$.

الإجابة الصحيحة: عزم محصلة هذه القوى بالنسبة للنقطة نفسها

نتيجة لخاصية توزيع الضرب الاتجاهي: $\vec{r}\times\sum\vec{F} = \sum\vec{r}\times\vec{F}$.

الإجابة الصحيحة: مع عقارب الساعة

الإشارة السالبة تدل على الدوران مع عقارب الساعة حسب الاصطلاح.

الإجابة الصحيحة: عزمها حول الأصل يساوي $1$، فخط عملها لا يمر بالأصل

$M_O = (1)(4) - (1)(3) = 1 \ne 0$، وهذا يعني أن خط العمل لا يمر بالأصل.

الإجابة الصحيحة: يوازي المستقيم $AB$

تساوي عزمي المحصلة حول $A$ و$B$ يعني أن $\overrightarrow{AB}\times\vec{R} = \vec{0}$، أي أن $\vec{R}$ توازي $AB$.

الإجابة الصحيحة: يمر بمنتصف القطعة $AB$

يتحقق هذا عندما يكون عزم المحصلة حول منتصف $AB$ صفرًا، أي أن خط عملها يمر به.

الإجابة الصحيحة: $4$ م

$d = \dfrac{M}{F} = \dfrac{60}{15} = 4$ م.

الإجابة الصحيحة: $-11$ نيوتن.متر

$\overrightarrow{BA} = (-2, 1)$ فـ $M_B = (-2)(4) - (1)(3) = -11$ نيوتن.متر.

الإجابة الصحيحة: عموديًا على المستوى

$\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}$ عمودي على كل من $\vec{r}$ و$\vec{F}$ فهو عمودي على مستويهما.

عزم القوة $\vec{F}$ بالنسبة للنقطة $O$ هو الضرب الاتجاهي $\vec{M}_O = \vec{r}\times\vec{F}$ حيث $\vec{r} = \overrightarrow{OA}$ و$A$ أي نقطة على خط عمل القوة. اتجاهه عمودي على مستوى $O$ والقوة ويُعيَّن بقاعدة اليد اليمنى (من $\vec{r}$ إلى $\vec{F}$)، ومعياره $\|\vec{r}\|F\sin\theta = F\times d$ حيث $d$ طول العمود الساقط من $O$ على خط العمل. ويكون العزم صفرًا عندما يمر خط عمل القوة بالنقطة $O$ (لأن $d = 0$)، أو عندما تنعدم القوة.

حول الأصل: $M_O = xF_y - yF_x = (-1)(4) - (2)(3) = -4 - 6 = -10$ نيوتن.متر (مع عقارب الساعة). حول $B$: $\overrightarrow{BA} = (-2, 1)$ فـ $M_B = (-2)(4) - (1)(3) = -8 - 3 = -11$ نيوتن.متر. معيار القوة $\sqrt{9 + 16} = 5$ نيوتن، فطول العمود من $B$ على خط العمل $d = \dfrac{|M_B|}{F} = \dfrac{11}{5} = 2.2$ م.

المركبة $F_x\hat{\imath}$ تؤثر في النقطة $(x, y)$ وعزمها $\vec{r}\times F_x\hat{\imath} = (x, y)\times(F_x, 0) = (x\cdot 0 - yF_x)\hat{k} = -yF_x\hat{k}$. والمركبة $F_y\hat{\jmath}$ عزمها $(x, y)\times(0, F_y) = (xF_y - y\cdot 0)\hat{k} = xF_y\hat{k}$. مجموع العزمين $(xF_y - yF_x)\hat{k}$، وهو نفسه عزم $\vec{F}$: $(x, y)\times(F_x, F_y) = (xF_y - yF_x)\hat{k}$. فعزم القوة يساوي مجموع عزمي مركبتيها.

عزم كل قوة: $M_1 = (1)(1) - (-2)(2) = 5$، $M_2 = (1)(3) - (-2)(-1) = 1$، $M_3 = (1)(-2) - (-2)(4) = 6$. المجموع $= 12$ نيوتن.متر. المحصلة $\vec{R} = (2 - 1 + 4,\; 1 + 3 - 2) = (5, 2)$ وعزمها $(1)(2) - (-2)(5) = 2 + 10 = 12$. تطابق النتيجتان وهذا هو معنى النظرية العامة للعزوم.

حول $P$: $\vec{r} = (0-1, 3-0) = (-1, 3)$ فـ $M_P = (-1)(1) - (3)(2) = -7$. حول $Q$: $\vec{r} = (0-3, 3-1) = (-3, 2)$ فـ $M_Q = (-3)(1) - (2)(2) = -7$. المجموعان متساويان، وعليه يوازي خط عمل المحصلة المستقيم $PQ$. وللتحقق: $\overrightarrow{PQ} = (2, 1)$ وهو موازٍ لـ $\vec{R} = (2, 1)$.