أسئلة: نظرية فيثاغورس وعكسها

الإجابة الصحيحة: الضلع المقابل للزاوية القائمة

الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة ويُعد أطول ضلع في المثلث القائم الزاوية.

الإجابة الصحيحة: $5$ سم

باستخدام نظرية فيثاغورس: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ سم.

الإجابة الصحيحة: $(5, 12, 13)$

لأن $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

الإجابة الصحيحة: $8$ سم

باستخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد ضلع قائم: $\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ سم.

الإجابة الصحيحة: قائم الزاوية

هذا هو نص عكس نظرية فيثاغورس لتحديد المثلثات قائمة الزاوية.

الإجابة الصحيحة: حاد الزوايا

أطول ضلع هو $7$ ($7^2 = 49$)، ومجموع مربعي الضلعين الآخرين $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$. بما أن $49 < 61$، إذن المثلث حاد الزوايا.

الإجابة الصحيحة: منفرج الزاوية

أطول ضلع هو $12$ ($12^2 = 144$)، ومجموع مربعي الضلعين الآخرين $7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$. بما أن $144 > 113$، إذن المثلث منفرج الزاوية.

الإجابة الصحيحة: $4$ أمتار

الارتفاع = $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ أمتار.

الإجابة الصحيحة: نعم، لأنه يحقق نظرية فيثاغورس

لأن $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$، و $15^2 = 225$؛ إذن $15^2 = 9^2 + 12^2$.

الإجابة الصحيحة: حاد الزوايا

وفقاً لقواعد تحديد نوع المثلث، إذا كان مربع أطول ضلع أقل من مجموع مربعي الضلعين الآخرين كان المثلث حاد الزوايا.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{2}$ سم

طول الوتر = $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ سم.

الإجابة الصحيحة: $2, 3, 4$

لأن $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$، بينما $4^2 = 16$، وبما أن $13 \neq 16$ فلا يحقق نظرية فيثاغورس.

باستخدام نظرية فيثاغورس: $AC^2 = AB^2 + BC^2$ $AC^2 = 9^2 + 12^2$ $AC^2 = 81 + 144 = 225$ $AC = \sqrt{225} = 15 \text{ سم}$.

نحدد أطول ضلع وهو $26$ ونحسب مربعه: $26^2 = 676$ نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين: $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$ بما أن $26^2 = 10^2 + 24^2$، إذن حسب عكس نظرية فيثاغورس المثلث قائم الزاوية.

أطول ضلع هو $11$ سم. نحسب مربع أطول ضلع: $11^2 = 121$. نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. بما أن مربع أطول ضلع ($121$) أكبر من مجموع مربعي الضلعين الآخرين ($100$)، أي أن $11^2 > 6^2 + 8^2$، إذن المثلث **منفرج الزاوية**.

باستخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد ضلع القائمة المجهول $a$: $17^2 = 8^2 + a^2$ $289 = 64 + a^2$ $a^2 = 289 - 64$ $a^2 = 225$ $a = \sqrt{225} = 15 \text{ سم}$.

الثلاثية هي: $(9, 40, 41)$ التحقق: $9^2 = 81$ $40^2 = 1600$ $81 + 1600 = 1681$ وبما أن $41^2 = 1681$، إذن العلاقة متحققة تماماً وهي ثلاثية فيثاغورية صحيحة.

تمثل المسافة المباشرة وتر مثلث قائم زاوية ضلعاه القائمان هما الإزاحة الأفقية والارتفاع الرأسي. $\text{المسافة}^2 = 12^2 + 5^2$ $\text{المسافة}^2 = 144 + 25 = 169$ $\text{المسافة} = \sqrt{169} = 13 \text{ كم}$.