أسئلة: متوسطات المثلث

الإجابة الصحيحة: القطعة المستقيمة الواصلة بين أحد رؤوس المثلث ومنتصف الضلع المقابل له

متوسط المثلث هو القطعة التي تصل بين رأس المثلث ومنتصف الضلع المقابل له، ويختلف عن الارتفاع ومنصف الزاوية.

الإجابة الصحيحة: داخل المثلث دائمًا

تتلاقى متوسطات المثلث الثلاثة في نقطة واحدة تسمى نقطة توازن المثلث وهي تقع دائمًا داخل المثلث.

الإجابة الصحيحة: 2 : 1

تقسم نقطة توازن المثلث كل متوسط بنسبة 2 : 1 من جهة الرأس إلى منتصف الضلع المقابل.

الإجابة الصحيحة: 8 سم

طول $AG = \frac{2}{3} \times AD = \frac{2}{3} \times 12 = 8$ سم.

الإجابة الصحيحة: 8 سم

بما أن النسبة هي $2:1$ من جهة الرأس، فإن $XG = 2 \times GM = 2 \times 4 = 8$ سم.

الإجابة الصحيحة: 9 سم

الجزء القصير يمثل ثلث المتوسط ($GD = \frac{1}{3}AD$)، إذن طول المتوسط الكامل $AD = 3 \times 3 = 9$ سم.

الإجابة الصحيحة: المثلث متساوي الساقين (من رأس الضلعين المتساويين)

في المثلث متساوي الساقين، يتطابق المتوسط الخارج من رأس المثلث مع الارتفاع ومنصف الزاوية في ذلك الرأس.

الإجابة الصحيحة: 10 سم

المسافة من الرأس إلى نقطة التوازن تمثل ثلثي المتوسط: $\frac{2}{3} \times 15 = 10$ سم.

الإجابة الصحيحة: $12$ سم و $6$ سم

$AG = \frac{2}{3} \times 18 = 12$ سم، و $GD = \frac{1}{3} \times 18 = 6$ سم.

الإجابة الصحيحة: 7 سم

بما أن $AG = 2 \times GD$، إذن $GD = \frac{AG}{2} = \frac{14}{2} = 7$ سم.

الإجابة الصحيحة: ثلاثة متوسطات

لكل مثلث ثلاثة متوسطات، واحد من كل رأس إلى منتصف الضلع المقابل.

الإجابة الصحيحة: 7 سم

المسافة من نقطة التوازن إلى منتصف الضلع المقابل تساوي ثلث طول المتوسط الكلي: $\frac{1}{3} \times 21 = 7$ سم.

الإجابة الصحيحة: 10 سم

طول المتوسط الخارج من رأس القائمة يساوي نصف طول الوتر: $AD = \frac{1}{2} \times 20 = 10$ سم.

الإجابة الصحيحة: $90°$

طول المتوسط يساوي نصف الضلع المقابل ($AD = \frac{1}{2}BC$)، فحسب عكس النظرية تكون زاوية الرأس $A$ قائمة.

الإجابة الصحيحة: 12 سم

$BD = 3 \times GD = 6$ سم، و $\overline{BD}$ خارج من رأس القائمة فهو نصف الوتر: $AC = 2 \times 6 = 12$ سم.

بما أن $G$ نقطة توازن المثلث، فإنها تقسم المتوسط $AD$ بنسبة $2:1$ من جهة الرأس $A$. إذن: $AG = \frac{2}{3} \times AD = \frac{2}{3} \times 18 = 12$ سم. $GD = \frac{1}{3} \times AD = \frac{1}{3} \times 18 = 6$ سم. إذن طول $AG = 12$ سم، وطول $GD = 6$ سم.

بما أن $G$ نقطة توازن المثلث، فإن النسبة بين جزئي المتوسط من جهة الرأس هي $XG : GM = 2 : 1$. بما أن $XG = 10$ سم، إذن: $GM = \frac{XG}{2} = \frac{10}{2} = 5$ سم. وطول المتوسط الكلي: $XM = XG + GM = 10 + 5 = 15$ سم. إذن طول $GM = 5$ سم، وطول $XM = 15$ سم.

بما أن $GD$ يمثل الثلث الأخير من المتوسط ($GD = \frac{1}{3}AD$): $AD = 3 \times GD = 3 \times 4.5 = 13.5$ سم. وبما أن $AG = 2 \times GD$ أو $AG = \frac{2}{3}AD$: $AG = 2 \times 4.5 = 9$ سم. إذن طول المتوسط الكلي $AD = 13.5$ سم، وطول $AG = 9$ سم.

تعريف متوسط المثلث: هو القطعة المستقيمة الواصلة بين أحد رؤوس المثلث ومنتصف الضلع المقابل له. الفرق بين نقطة توازن المثلث ونقطة تقاطع الارتفاعات: 1. نقطة توازن المثلث (مركز الثقل): هي نقطة تلاقي متوسطات المثلث الثلاثة، وتقع دائمًا داخل المثلث بغض النظر عن نوعه، وتقسم كل متوسط بنسبة $2:1$ من جهة الرأس. 2. نقطة تقاطع الارتفاعات: هي نقطة تلاقي الارتفاعات الثلاثة (العمودية من الرؤوس على الأضلاع)، وقد تقع داخل المثلث (إذا كان حاد الزوايا)، أو على رأس القائمة (إذا كان قائم الزاوية)، أو خارج المثلث (إذا كان منفرج الزوايا).

في المثلث متساوي الأضلاع، تتماثل جميع أضلاعه وزواياه بشكل كامل: 1. المتوسط الخارج من أي رأس إلى منتصف الضلع المقابل يصنع زاوية قائمة مع الضلع المقابل (بسبب تطابق الضلعين المجاورين)، ولذلك يتطابق مع الارتفاع. 2. وبسبب التماثل الهندسي، ينصف هذا الخط زاوية الرأس الخارج منها، ولذلك يتطابق أيضًا مع منصف الزاوية. 3. نتيجة لتطابق المتوسطات والارتفاعات ومنصفات الزوايا في المثلث متساوي الأضلاع، فإن نقطة توازن المثلث تتطابق مع مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ومركز الدائرة الداخلية له.

بما أن $BE$ متوسط طوله $21$ سم و $G$ نقطة توازن المثلث الواقعة عليه: 1. المسافة من الرأس إلى نقطة التوازن ($BG$) تمثل ثلثي المتوسط: $BG = \frac{2}{3} \times BE = \frac{2}{3} \times 21 = 14$ سم. 2. المسافة من نقطة التوازن إلى منتصف الضلع المقابل ($GE$) تمثل ثلث المتوسط: $GE = \frac{1}{3} \times BE = \frac{1}{3} \times 21 = 7$ سم. إذن المسافة من الرأس $B$ إلى $G$ تساوي $14$ سم، والمسافة من $G$ إلى $E$ تساوي $7$ سم.