ملخص الدالة العكسية — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: الأسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها

آلة تحويل العملة تحوّل الجنيهات إلى دولارات، وآلة أخرى تعيد الدولارات إلى جنيهات. الآلة الثانية «تُلغي» عمل الأولى. في الرياضيات، الدالة التي تُلغي عمل دالة أخرى تسمى الدالة العكسية. لكن ليست كل دالة لها عكسية؛ فإذا أعطت الدالة الناتج نفسه لمدخلين مختلفين، فلن نعرف عند العكس أيهما نختار. لهذا نبدأ بفكرة الدالة الأحادية.

أهداف التعلم

أن يحدد الطالب ما إذا كانت الدالة أحادية باستخدام التعريف أو اختبار الخط الأفقي.
أن يوجد الطالب الدالة العكسية لدالة معطاة بأزواج مرتبة.
أن يوجد الطالب قاعدة الدالة العكسية جبريًّا ويحدد مجالها ومداها.
أن يمثل الطالب الدالة وعكسيتها بيانيًّا ويستخدم التماثل حول $y=x$ .

شرح الدرس

الدالة الأحادية

تكون الدالة $f$ أحادية (واحد لواحد) إذا لم يشترك مدخلان مختلفان في ناتج واحد؛ أي إذا كان:

f(x_1)=f(x_2)\ \Rightarrow\ x_1=x_2

اختبار الخط الأفقي: إذا قطع كل مستقيم أفقي منحنى الدالة في نقطة واحدة على الأكثر كانت الدالة أحادية. قارن ذلك باختبار الخط الرأسي الذي يحدد هل الرسم دالة أصلًا.

أمثلة:

$f(x)=2x+1$ أحادية؛ كل مستقيم أفقي يقطع المستقيم المائل مرة واحدة.
$f(x)=x^2$ على $\mathbb{R}$ ليست أحادية؛ فـ $f(-3)=f(3)=9$ .
$f(x)=x^3$ و $f(x)=2^x$ أحاديتان.
كل دالة تزايدية دائمًا (أو تناقصية دائمًا) على مجالها أحادية.

تعريف الدالة العكسية

إذا كانت $f$ دالة أحادية من المجموعة $X$ إلى المجموعة $Y$ ، فإن الدالة العكسية $f^{-1}$ هي الدالة من $Y$ إلى $X$ التي تحقق:

(x,y)\in f\iff(y,x)\in f^{-1}

أي أن $f^{-1}$ تبادل موضعي المدخل والناتج. ويترتب على ذلك:

مجال $f^{-1}$ = مدى $f$ ، ومدى $f^{-1}$ = مجال $f$ .
$f^{-1}\big(f(x)\big)=x$ لكل $x$ في مجال $f$ ، و $f\big(f^{-1}(x)\big)=x$ لكل $x$ في مجال $f^{-1}$ .

تنبيه: الرمز $f^{-1}(x)$ يعني الدالة العكسية وليس $\frac{1}{f(x)}$ .

إيجاد الدالة العكسية جبريًّا

نكتب $y=f(x)$ .
نبادل بين $x$ و $y$ .
نحل المعادلة الجديدة بالنسبة إلى $y$ .
نكتب $f^{-1}(x)=y$ ، ونحدد مجالها (مدى $f$ ).

التمثيل البياني

بما أن النقطة $(a,b)$ على منحنى $f$ تقابلها النقطة $(b,a)$ على منحنى $f^{-1}$ ، فإن منحنى الدالة العكسية هو صورة منحنى الدالة بالانعكاس في المستقيم $y=x$ .

المستقيم f س يساوي 2 س زائد 1 وعكسيته متماثلان حول المستقيم y يساوي x، والنقطة 1 و3 تقابلها النقطة 3 و1

في الشكل: $f(x)=2x+1$ تمر بالنقطة $(1,3)$ ، وعكسيتها $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$ تمر بالنقطة $(3,1)$ .

تقييد المجال

الدالة $f(x)=x^2$ ليست أحادية على $\mathbb{R}$ ، لكن إذا قيدنا مجالها بالفترة $[0,\infty)$ تصبح أحادية، وتكون عكسيتها $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ حيث $x\ge0$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: إذا كانت $f=\{(1,4),(2,7),(3,10),(4,13)\}$ فأوجد $f^{-1}$ .

$f$ أحادية لأن النواتج مختلفة، و $f^{-1}=\{(4,1),(7,2),(10,3),(13,4)\}$ . مجال $f^{-1}$ هو $\{4,7,10,13\}$ .

مثال 2: أوجد الدالة العكسية لـ $f(x)=3x-6$ ، ثم تحقق.

$y=3x-6$ ، نبادل: $x=3y-6$ ، إذن $y=\frac{x+6}{3}$ . فتكون $f^{-1}(x)=\frac{x+6}{3}$ .

التحقق: $f^{-1}\big(f(x)\big)=\frac{(3x-6)+6}{3}=x$ .

مثال 3: أوجد الدالة العكسية لـ $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ حيث $x\ne1$ .

$x=\frac{y+2}{y-1}$ ، إذن $x(y-1)=y+2$ ، أي $xy-x=y+2$ ، فيكون $xy-y=x+2$ و $y(x-1)=x+2$ . إذن $f^{-1}(x)=\frac{x+2}{x-1}$ حيث $x\ne1$ . لاحظ أن هذه الدالة هي عكسية نفسها؛ ومنحناها متماثل حول $y=x$ .

مثال 4: إذا كانت $f(x)=x^3+1$ فأوجد $f^{-1}(9)$ دون إيجاد القاعدة.

$f^{-1}(9)=a$ يعني $f(a)=9$ ، أي $a^3+1=9$ و $a^3=8$ و $a=2$ .

مثال 5: إذا كانت $f(x)=\sqrt{x-2}$ حيث $x\ge2$ ، فأوجد $f^{-1}$ ومجالها.

مدى $f$ هو $[0,\infty)$ . $x=\sqrt{y-2}$ ، إذن $x^2=y-2$ و $y=x^2+2$ . فتكون $f^{-1}(x)=x^2+2$ حيث $x\ge0$ .

ملاحظات مهمة

تحقق من أحادية الدالة قبل البحث عن عكسيتها.
$f^{-1}(x)\ne\frac{1}{f(x)}$ في الغالب؛ فالأس $-1$ هنا رمز للعكس وليس للمقلوب.
مجال الدالة العكسية هو مدى الدالة الأصلية، وليس دائمًا المجال الذي تسمح به القاعدة الجديدة وحدها.
نقاط تقاطع منحنى $f$ مع المستقيم $y=x$ (إن وجدت) تقع أيضًا على منحنى $f^{-1}$ .

المفاهيم الأساسية

الدالة الأحادية: $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ ، واختبارها البياني هو الخط الأفقي.
للدالة عكسية إذا وفقط إذا كانت أحادية.
$(a,b)\in f\iff(b,a)\in f^{-1}$ ، ومجال $f^{-1}$ هو مدى $f$ .
منحنيا $f$ و $f^{-1}$ متماثلان حول المستقيم $y=x$ .
خطوات الإيجاد: $y=f(x)$ ، تبديل $x$ و $y$ ، الحل بالنسبة إلى $y$ .

ملخص الدرس

الدالة العكسية تعيد كل ناتج إلى المدخل الذي أنتجه، ولذلك لا توجد إلا للدالة الأحادية التي لا تكرر نواتجها. نحصل عليها بتبديل عنصري كل زوج مرتب، أو جبريًّا بتبديل $x$ و $y$ ثم الحل بالنسبة إلى $y$ ، ويظهر منحناها صورةً لمنحنى الدالة بالانعكاس في المستقيم $y=x$ .

أسئلة للتدريب

أي الدوال الآتية أحادية على $\mathbb{R}$ : $f(x)=5-2x$ ، $g(x)=|x|$ ، $h(x)=x^3-4$ ؟ فسّر.
أوجد $f^{-1}$ إذا كانت $f(x)=\frac{2x-3}{5}$ ، وتحقق أن $f\big(f^{-1}(x)\big)=x$ .
إذا كانت $f(x)=\frac{1}{x-2}$ حيث $x\ne2$ ، فأوجد $f^{-1}(x)$ ومجالها.
إذا كان منحنى $f$ يمر بالنقاط $(0,3)$ و $(2,5)$ و $(4,9)$ فما النقاط المناظرة على منحنى $f^{-1}$ ؟
قيّد مجال $f(x)=(x-1)^2$ بحيث تصبح أحادية، ثم أوجد عكسيتها.