ملخص إيجاد نهاية الدالة جبريًا — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: النهايات والاتصال

في الدرس السابق قدّرنا النهايات بالجداول والرسوم، وهذا يستغرق وقتًا ولا يعطي دائمًا قيمة دقيقة. في هذا الدرس نتعلم طرقًا جبرية سريعة ودقيقة: نبدأ دائمًا بالتعويض المباشر، فإذا ظهرت الصورة $\frac{0}{0}$ نعيد كتابة الدالة بطريقة تحذف العامل المسبب للصفر ثم نعوّض من جديد.

أهداف التعلم

أن يوجد الطالب نهاية كثيرة الحدود والدالة الكسرية بالتعويض المباشر.
أن يستخدم الطالب نظريات النهايات (المجموع والفرق والضرب والقسمة والقوة).
أن يتخلص الطالب من الصورة $\frac{0}{0}$ بالتحليل أو القسمة أو الضرب في المرافق.
أن يطبق الطالب نظرية $\lim_{x\to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}=n\,a^{n-1}$ ونتائجها.

شرح الدرس

التعويض المباشر

إذا كانت $f$ كثيرة حدود فإن $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ . وكذلك الدالة الكسرية $\frac{f(x)}{g(x)}$ عندما $g(a)\ne0$ . مثال:

\lim_{x\to2}\left(x^3-3x+1\right)=8-6+1=3

نظريات النهايات

إذا كانت $\lim_{x\to a}f(x)=L$ و $\lim_{x\to a}g(x)=M$ و $k$ ثابتًا، فإن:

$\lim_{x\to a}k=k$ ، و $\lim_{x\to a}k\,f(x)=kL$ .
$\lim_{x\to a}\big[f(x)\pm g(x)\big]=L\pm M$ .
$\lim_{x\to a}\big[f(x)\,g(x)\big]=LM$ .
$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}$ بشرط $M\ne0$ .
$\lim_{x\to a}\big[f(x)\big]^{n}=L^{n}$ ، و $\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}$ إذا كان الجذر معرّفًا.

النظرية الأساسية للتبسيط

إذا كانت $f(x)=g(x)$ لكل $x$ قريب من $a$ عدا $x=a$ ، وكانت $\lim_{x\to a}g(x)=L$ ، فإن $\lim_{x\to a}f(x)=L$ . هذا يبرر حذف العامل $(x-a)$ من البسط والمقام: فنحن لا نقسم على صفر، لأن $x\ne a$ أثناء الاقتراب.

طريقة التحليل

إذا أعطى التعويض $\frac{0}{0}$ فإن $(x-a)$ عامل مشترك في البسط والمقام. نحلل ونختصر ثم نعوض:

\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}=\frac{6}{5}

القسمة المطولة أو التركيبية

إذا صعب التحليل (مثل كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة)، نقسم على $(x-a)$ . مثال: $\lim_{x\to1}\frac{x^3-2x^2+1}{x-1}$ . بالقسمة نجد $x^3-2x^2+1=(x-1)(x^2-x-1)$ ، إذن النهاية $=1-1-1=-1$ .

الضرب في المرافق

إذا احتوت الدالة جذرًا تربيعيًّا وأعطت $\frac{0}{0}$ ، نضرب البسط والمقام في مرافق المقدار الجذري ( $\sqrt{A}-B$ مرافقه $\sqrt{A}+B$ ):

\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\lim_{x\to4}\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\lim_{x\to4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{4}

نظرية مهمة

لأي عدد حقيقي $a$ ولأي عدد نسبي $n$ (بشرط أن تكون القوى معرّفة):

\lim_{x\to a}\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}=n\,a^{n-1}

نتيجتان:

\lim_{x\to0}\frac{(x+a)^{n}-a^{n}}{x}=n\,a^{n-1},\qquad \lim_{x\to a}\frac{x^{n}-a^{n}}{x^{m}-a^{m}}=\frac{n}{m}\,a^{n-m}

لاستخدام النظرية نتأكد أن الدالة على الصورة المطلوبة تمامًا: البسط فرق قوتين متساويتين في الأس، والمقام فرق الأساسين، والمتغير يقترب من العدد نفسه الموجود في القوة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: $\lim_{x\to-1}\frac{x^2+4x+3}{x+1}$ .

التعويض يعطي $\frac{0}{0}$ . التحليل: $\frac{(x+1)(x+3)}{x+1}=x+3$ ، إذن النهاية $2$ .

مثال 2: $\lim_{x\to2}\frac{x^5-32}{x-2}$ .

$32=2^5$ ، فبالنظرية: $5\times2^{4}=80$ .

مثال 3: $\lim_{x\to3}\frac{x^4-81}{x-3}$ .

$81=3^4$ ، إذن النهاية $4\times3^3=108$ .

مثال 4: $\lim_{x\to0}\frac{(x+2)^{3}-8}{x}$ .

بالنتيجة الأولى: $3\times2^{2}=12$ . (تحقق بالفك: $(x+2)^3-8=x^3+6x^2+12x$ ، والقسمة على $x$ ثم التعويض تعطي $12$ .)

مثال 5: $\lim_{x\to1}\frac{x^7-1}{x^3-1}$ .

بالنتيجة الثانية مع $a=1$ : $\frac{7}{3}\times1^{4}=\frac{7}{3}$ .

مثال 6: $\lim_{x\to16}\frac{\sqrt{x}-4}{x-16}$ .

نكتب $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ و $4=16^{\frac{1}{2}}$ ، فبالنظرية: $\frac{1}{2}\times16^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}$ . (ويمكن الحل أيضًا بالمرافق.)

مثال 7: $\lim_{x\to5}\frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5}$ .

نضرب في المرافق: $\frac{(x+4)-9}{(x-5)\left(\sqrt{x+4}+3\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+3}$ ، والنهاية $\frac{1}{6}$ .

ملاحظات مهمة

ابدأ دائمًا بالتعويض المباشر؛ فإذا أعطى عددًا فهو النهاية.
الصورة $\frac{0}{0}$ تعني وجود عامل $(x-a)$ مشترك؛ ابحث عنه واختصره.
الصورة $\frac{k}{0}$ حيث $k\ne0$ تعني أن النهاية ليست عددًا حقيقيًّا.
قبل تطبيق النظرية تحقق من تطابق الأسس في البسط وتطابق $a$ في المقام.

المفاهيم الأساسية

كثيرة الحدود: $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ .
نهاية المجموع والفرق والضرب والقسمة تساوي مجموع النهايات وفرقها وضربها وقسمتها (مع مقام نهايته غير صفرية).
للتخلص من $\frac{0}{0}$ : التحليل، أو القسمة على $(x-a)$ ، أو الضرب في المرافق.
$\lim_{x\to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}=n\,a^{n-1}$ ، و $\lim_{x\to a}\frac{x^n-a^n}{x^m-a^m}=\frac{n}{m}a^{n-m}$ .

ملخص الدرس

إيجاد النهاية جبريًّا يبدأ بالتعويض. فإذا ظهرت الصورة غير المعيّنة $\frac{0}{0}$ حوّلنا الدالة إلى صورة مكافئة لها قرب النقطة: بالتحليل أو القسمة أو المرافق، ثم نعوّض. أما النهايات التي على الصورة $\frac{x^n-a^n}{x-a}$ فتعطيها النظرية مباشرة وتوفر خطوات كثيرة.

أسئلة للتدريب

أوجد $\lim_{x\to-2}\left(2x^2+x-5\right)$ .
أوجد $\lim_{x\to4}\frac{x^2-16}{x^2-5x+4}$ .
أوجد $\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x^2-4}$ بطريقتين.
أوجد $\lim_{x\to9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}$ بالضرب في المرافق.
أوجد $\lim_{x\to0}\frac{(x+1)^{6}-1}{x}$ .