أسئلة: المتتابعات الهندسية

الإجابة الصحيحة: 3

الأساس $r$ هو ناتج قسمة أي حد على الحد السابق له، $15/5 = 3$.

الإجابة الصحيحة: 162

الحد العام $a_n = a_1 r^{n-1}$، لذا $a_5 = 2 \times 3^{5-1} = 2 \times 81 = 162$.

الإجابة الصحيحة: $-2$

$r = \frac{-10}{5} = -2$؛ الأساس السالب يجعل إشارات الحدود تتناوب.

الإجابة الصحيحة: 6 و $-6$

الوسط الهندسي $b$ يحقق $b^2 = 4 \times 9 = 36$، فيكون $b = 6$ أو $b = -6$. أما 6.5 فهو الوسط الحسابي.

الإجابة الصحيحة: 124

$S_n = a_1(r^n - 1) / (r-1) = 4(2^5 - 1) / (2-1) = 4(31) = 124$.

الإجابة الصحيحة: -8

$a_4 = a_1 r^{4-1} = 1 \times (-2)^3 = -8$.

الإجابة الصحيحة: 3

$\frac{a_5}{a_2} = r^3 = \frac{162}{6} = 27$، فيكون $r = 3$ (و $a_1 = 2$).

الإجابة الصحيحة: 2

$r = a_3 / a_2 = 20 / 10 = 2$.

الإجابة الصحيحة: 15

للمتتابعة الثابتة، $S_n = n \times a_1 = 3 \times 5 = 15$.

الإجابة الصحيحة: 3

$a_3 = a_1 r^2 \implies 18 = 2 r^2 \implies r^2 = 9 \implies r=3$.

الإجابة الصحيحة: 1

$a_6 = 32 \times (0.5)^5 = 32 \times (1/32) = 1$.

الإجابة الصحيحة: 1, 3, 9, 27

المتتابعة $1, 3, 9, 27$ لها أساس ثابت $r=3$.

الإجابة الصحيحة: 189

$S_6 = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1} = 3 \times 63 = 189$. الرقم 96 هو الحد السادس، و 381 مجموع 7 حدود.

الإجابة الصحيحة: 9

$r = \frac{1}{2}$، ومن $24(\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{3}{32}$ نحصل على $(\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{256} = (\frac{1}{2})^8$، أي $n - 1 = 8$ و $n = 9$.

الإجابة الصحيحة: 70

كل الحدود تساوي 7، فيكون $S_{10} = 10 \times 7 = 70$؛ ولا نستخدم الصيغة $\frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ هنا لأن مقامها صفر.

الحد العام هو $a_n = 5 \times 4^{n-1}$. الحد الرابع: $a_4 = 5 \times 4^3 = 5 \times 64 = 320$.

بما أن $a_4 = a_3 \times r$، فإن $24 = 12r \implies r=2$. بالتعويض في $a_3 = a_1 r^2$ نجد $12 = a_1 (2^2) \implies 12 = 4a_1 \implies a_1 = 3$.

$S_4 = a_1(r^4 - 1) / (r-1) = 2(3^4 - 1) / (3-1) = 2(81-1) / 2 = 80$.

نفرض الأعداد $\frac{a}{r}, a, ar$. حاصل ضربها $a^3 = 216$ فيكون $a = 6$. المجموع $\frac{6}{r} + 6 + 6r = 26$، وبالضرب في $r$: $6 + 6r + 6r^2 = 26r$ أي $3r^2 - 10r + 3 = 0$، ومنها $(3r - 1)(r - 3) = 0$، فيكون $r = 3$ أو $r = \frac{1}{3}$. الأعداد $2, 6, 18$ (أو بالترتيب العكسي).

$a_1 + a_1 r = 12 \implies 4 + 4r = 12 \implies 4r = 8 \implies r=2$.

المتتابعة هندسية حدها الأول 500 وأساسها 2، فالحد العام $a_n = 500 \times 2^{n-1}$. بعد 10 ساعات نكون في بداية الساعة الحادية عشرة: $a_{11} = 500 \times 2^{10} = 500 \times 1024 = 512000$ خلية.