ملخص المثلثات والمستقيمات — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 4 — الهندسة والمعادلات

في العلاج الإشعاعي الموجّه تُطلق عدة حزم إشعاعية ضيقة من اتجاهات مختلفة لتلتقي في نقطة واحدة هي موضع الورم. إذا مثّلنا كل حزمة بمستقيم أمكننا أن نتحقق جبريًّا من أن المستقيمات تتلاقى في نقطة واحدة ولا تكوّن مثلثًا حول الهدف. في هذا الدرس نتعلم معادلات المستقيمات والعلاقات بينها ونستخدمها في المثلثات.

أهداف التعلم

أن تحدد نوع المثلث (متساوي الأضلاع، متساوي الساقين، قائم الزاوية) من إحداثيات رؤوسه.
أن تكتب معادلة مستقيم بصورها المختلفة وتستخدم شرطي التوازي والتعامد.
أن تجد معادلة العمود المنصف لقطعة، والنقطة المتماثلة مع نقطة حول مستقيم.
أن تحسب بعد نقطة عن مستقيم ومساحة مثلث بمعلومية رؤوسه.
أن تجد النقطة الثابتة التي يمر بها مستقيم لكل قيم ثابت، وشروط عدم تكوين ثلاثة مستقيمات مثلثًا.

شرح الدرس

نوع المثلث

نحسب مربعات أطوال الأضلاع $AB^{2}$ و $BC^{2}$ و $CA^{2}$ ونقارن:

الأضلاع الثلاثة متساوية ← متساوي الأضلاع.
ضلعان متساويان فقط ← متساوي الساقين.
مربع أحد الأضلاع يساوي مجموع مربعي الآخرين ← قائم الزاوية (عكس نظرية فيثاغورس).
وإذا تحقق الشرطان الأخيران ← قائم الزاوية ومتساوي الساقين.

صور معادلة المستقيم

المعطيات	المعادلة
يمر بـ $(x_1, y_1)$ ويوازي محور $x$	$y = y_1$
يمر بـ $(x_1, y_1)$ ويوازي محور $y$	$x = x_1$
يمر بـ $(x_1, y_1)$ وميله $m$	$y - y_1 = m(x - x_1)$
يمر بـ $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ حيث $x_1 \ne x_2$	$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$

والصورة العامة $ax + by + c = 0$ ، وميل المستقيم فيها $-\frac{a}{b}$ عندما $b \ne 0$ .

التوازي والتعامد

للمستقيمين $y = m_1x + c_1$ و $y = m_2x + c_2$ :

\begin{gathered} \text{متوازيان} \iff m_1 = m_2 \\ \text{متعامدان} \iff m_1 m_2 = -1 \end{gathered}

العمود المنصف والنقطة المتماثلة حول مستقيم

العمود المنصف لقطعة $AB$ يمر بمنتصفها ويكون عموديًّا عليها: نجد ميل $AB$ ثم الميل العمودي، ونكتب معادلة المستقيم المار بالمنتصف.

ولإيجاد النقطة $B(s, t)$ المتماثلة مع $A$ حول المستقيم $\ell$ نستخدم شرطين: (1) $AB$ عمودي على $\ell$ ، و (2) منتصف $AB$ يقع على $\ell$ ؛ ثم نحل المعادلتين معًا.

بعد نقطة عن مستقيم ومساحة المثلث

بعد النقطة $(x_0, y_0)$ عن المستقيم $ax + by + c = 0$ :

d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

مستقيم معادلته 3x ناقص 4y زائد 4 يساوي صفرًا، والنقطة P(5, 1) خارجه، والعمود النازل منها يلاقي المستقيم في H، وطوله d يساوي 3 بالتعويض في قانون البعد

مساحة المثلث $ABC$ : القاعدة $AB$ (المسافة بين نقطتين)، والارتفاع بعد $C$ عن المستقيم $AB$ ، والمساحة $\frac{1}{2} \times AB \times d$ .

المستقيم المار بنقطة ثابتة

إذا احتوت معادلة المستقيم على ثابت $k$ ، نرتبها على الصورة:

(ax + by + c) + k(a'x + b'y + c') = 0

ولكي تتحقق لكل قيم $k$ يجب أن يكون $ax + by + c = 0$ و $a'x + b'y + c' = 0$ معًا؛ فحلهما هو النقطة الثابتة.

متى لا تكوّن ثلاثة مستقيمات مثلثًا؟

في حالتين: (1) مستقيمان منها متوازيان (ميلاهما متساويان)، أو (2) المستقيمات الثلاثة تتلاقى في نقطة واحدة (نجد نقطة تقاطع اثنين ونعوض بها في الثالث).

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (نوع المثلث): $A(1, 1)$ و $B(4, 2)$ و $C(2, 4)$ :

\begin{gathered} \begin{aligned} AB^{2} &= 9 + 1 \\ &= 10 \end{aligned} \\ \begin{aligned} AC^{2} &= 1 + 9 \\ &= 10 \end{aligned} \\ \begin{aligned} BC^{2} &= 4 + 4 \\ &= 8 \end{aligned} \end{gathered}

فالمثلث متساوي الساقين ( $AB = AC$ )، وليس قائمًا لأن $10 \ne 10 + 8$ و $8 \ne 20$ .

مثال 2 (معادلة مستقيم): المستقيم المار بـ $(1, -1)$ و $(4, 5)$ : الميل $\frac{6}{3} = 2$ ، فمعادلته $y + 1 = 2(x - 1)$ أي $2x - y - 3 = 0$ .

مثال 3 (توازي وتعامد): المستقيم المار بـ $(2, 1)$ ويعامد $x + 3y - 4 = 0$ (ميله $-\frac{1}{3}$ ) ميله 3، فمعادلته $y - 1 = 3(x - 2)$ أي $3x - y - 5 = 0$ .

مثال 4 (العمود المنصف): للقطعة من $A(-1, 2)$ إلى $B(3, 6)$ : المنتصف $(1, 4)$ وميل $AB$ يساوي 1، فميل العمود $-1$ ، ومعادلته $y - 4 = -(x - 1)$ أي $x + y - 5 = 0$ .

مثال 5 (بعد ومساحة): مساحة المثلث $A(0, 0)$ و $B(4, 2)$ و $C(1, 5)$ : المستقيم $AB$ هو $x - 2y = 0$ ، والقاعدة $AB = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5}$ ، والارتفاع:

\begin{gathered} \begin{aligned} d &= \frac{|1 - 10|}{\sqrt{1 + 4}} \\ &= \frac{9}{\sqrt{5}} \end{aligned} \\ \text{المساحة} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times \frac{9}{\sqrt{5}} = 9 \end{gathered}

مثال 6 (نقطة ثابتة): المستقيم $(k + 1)x + (k - 1)y - 2k = 0$ نرتبه: $(x - y) + k(x + y - 2) = 0$ . من $x - y = 0$ و $x + y - 2 = 0$ نجد النقطة الثابتة $(1, 1)$ .

مثال 7 (عدم تكوين مثلث): المستقيمات $y = x + 1$ و $y = -x + 3$ و $y = ax$ . المستقيم الثالث يوازي الأول إذا $a = 1$ ، ويوازي الثاني إذا $a = -1$ . وتقاطع الأولين $(1, 2)$ ، ويمر به الثالث إذا $a = 2$ . إذن $a = 1$ أو $a = -1$ أو $a = 2$ .

ملاحظات مهمة

قارن مربعات الأطوال لتتجنب الجذور عند تحديد نوع المثلث.
المستقيم الرأسي $x = x_1$ ليس له ميل، والأفقي ميله صفر، وهما متعامدان دائمًا.
لا تنسَ القيمة المطلقة في قانون البعد؛ فالبعد لا يكون سالبًا.
في مسائل عدم تكوين مثلث افحص كل أزواج التوازي، ثم حالة التلاقي في نقطة.

المفاهيم الأساسية

مربعات الأضلاع تحدد نوع المثلث (تساوٍ أو فيثاغورس).
$y - y_1 = m(x - x_1)$ ، وميل $ax + by + c = 0$ هو $-\frac{a}{b}$ .
التوازي: $m_1 = m_2$ ، والتعامد: $m_1 m_2 = -1$ .
البعد: $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ ، والمساحة $\frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$ .
النقطة الثابتة: حل $ax + by + c = 0$ و $a'x + b'y + c' = 0$ .

ملخص الدرس

نحدد نوع المثلث بمقارنة مربعات أطوال أضلاعه، ونكتب معادلة المستقيم إذا علمنا نقطة وميلًا أو نقطتين. يتوازى مستقيمان إذا تساوى ميلاهما ويتعامدان إذا كان حاصل ضرب الميلين $-1$ ، وبهذا نجد العمود المنصف والنقطة المتماثلة حول مستقيم. ونحسب بعد نقطة عن مستقيم بقانون مباشر، ومنه مساحة المثلث. والمستقيم الذي يحوي ثابتًا $k$ قد يمر بنقطة ثابتة نجدها بجعل المعادلة متطابقة في $k$ ، ولا تكوّن ثلاثة مستقيمات مثلثًا إذا توازى اثنان منها أو تلاقت الثلاثة في نقطة.

أسئلة للتدريب

أثبت أن المثلث الذي رؤوسه $A(0, 0)$ و $B(3, 1)$ و $C(2, 4)$ قائم الزاوية، وحدد الزاوية القائمة.
أوجد معادلة المستقيم المار بـ $(-2, 3)$ ويوازي $2x - y + 7 = 0$ .
أوجد معادلة العمود المنصف للقطعة من $A(2, -1)$ إلى $B(6, 3)$ .
أوجد بعد النقطة $(2, -3)$ عن المستقيم $5x + 12y - 7 = 0$ .
أوجد النقطة الثابتة التي يمر بها المستقيم $(2k + 1)x + (k - 3)y - 5k + 1 = 0$ لكل قيم $k$ .