ملخص الدوائر — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الرياضيات
المسار: مسار الطب وعلوم الحياة
الوحدة: الفصل 4 — الهندسة والمعادلات

يحدد هاتفك موقعه باستخدام أبراج الاتصالات: كل برج يقدّر بعدك عنه، فتكون على دائرة مركزها البرج. دائرة واحدة لا تكفي، لكن تقاطع دائرتين أو ثلاث يحدد موقعك بدقة. في هذا الدرس نكتب معادلة الدائرة، وندرس تقاطعها مع المستقيمات ومع دوائر أخرى.

أهداف التعلم

أن تكتب معادلة دائرة بمعلومية مركزها ونصف قطرها، أو بمعلومية ثلاث نقاط عليها.
أن تحوّل الصورة العامة إلى القياسية بإكمال المربع وتحدد شرط أن تمثل المعادلة دائرة.
أن تحدد وضع مستقيم بالنسبة إلى دائرة وتحسب طول الوتر.
أن تكتب معادلة المماس لدائرة عند نقطة عليها.
أن تحدد وضع دائرتين إحداهما بالنسبة إلى الأخرى، وتجد معادلة دائرة تمر بنقطتي تقاطع دائرتين.

شرح الدرس

معادلة الدائرة

الدائرة التي مركزها $(a, b)$ ونصف قطرها $r$ هي مجموعة النقاط التي تبعد $r$ عن المركز، ومعادلتها القياسية:

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

وبفك الأقواس نحصل على الصورة العامة $x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0$ (معامل $x^{2}$ يساوي معامل $y^{2}$ ، ولا يوجد حد $xy$ ).

إذا عُلم المركز ونقطة على الدائرة: نصف القطر هو المسافة بينهما.
إذا عُلم طرفا قطر: المركز منتصفهما.
إذا عُلمت ثلاث نقاط: نعوض بها في الصورة العامة ونحل ثلاث معادلات في $l, m, n$ .
الدائرة التي تمس محور $x$ : نصف قطرها $|b|$ ، والتي تمس محور $y$ : نصف قطرها $|a|$ .

متى تمثل المعادلة دائرة؟

نكمل المربع لنصل إلى $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = k$ . فإذا كان $k > 0$ فالمعادلة دائرة نصف قطرها $\sqrt{k}$ ؛ وإذا كان $k = 0$ فهي نقطة واحدة، وإذا كان $k < 0$ فلا تمثل أي نقطة.

وضع مستقيم بالنسبة إلى دائرة

طريقتان:

بالمميّز: نعوض من معادلة المستقيم في معادلة الدائرة فنحصل على معادلة تربيعية مميّزها $D$ : $D > 0$ نقطتا تقاطع، $D = 0$ تماس، $D < 0$ لا تقاطع.
بالبعد: نحسب بعد المركز عن المستقيم $d$ ونقارنه بنصف القطر $r$ .

ثلاث دوائر متساوية؛ في الأولى بعد المركز عن المستقيم أقل من نصف القطر فيقطعها المستقيم في نقطتين، وفي الثانية يساويه فيمسها في نقطة واحدة، وفي الثالثة أكبر منه فلا يقطعها

طول الوتر: العمود من المركز على الوتر ينصفه، فإذا كان نصف طول الوتر $\ell$ فإن $\ell^{2} + d^{2} = r^{2}$ ، وطول الوتر $2\ell = 2\sqrt{r^{2} - d^{2}}$ .

المماس

المماس عند نقطة $P$ على الدائرة عمودي على نصف القطر عند $P$ . وللدائرة $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ يكون المماس عند $(x_1, y_1)$ :

x_1 x + y_1 y = r^{2}

ولمماس مرسوم من نقطة خارج الدائرة نفرض نقطة التماس $(p, q)$ ، ونستخدم أن المماس يمر بالنقطة المعطاة وأن $(p, q)$ على الدائرة.

وضع دائرتين

لدائرتين نصفا قطريهما $r$ و $r'$ حيث $r > r'$ ، والبعد بين مركزيهما $d$ :

الوضع	الشرط
متباعدتان (كل منهما خارج الأخرى)	$d > r + r'$
متماستان من الخارج	$d = r + r'$
متقاطعتان في نقطتين	$r - r' < d < r + r'$
متماستان من الداخل	$d = r - r'$
إحداهما داخل الأخرى	$d < r - r'$

الدائرة المارة بنقطتي تقاطع دائرتين $C_1 = 0$ و $C_2 = 0$ تُكتب على الصورة $k\,C_1 + C_2 = 0$ ، ونجد $k$ من شرط إضافي (نقطة تمر بها مثلًا). وإذا كان $k = -1$ اختفت الحدود التربيعية وحصلنا على معادلة الوتر المشترك.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (إكمال المربع): $x^{2} + y^{2} - 6x + 4y - 3 = 0$ :

\begin{aligned} &(x^{2} - 6x + 9) + (y^{2} + 4y + 4) \\ &= 3 + 9 + 4 \\ &\Rightarrow (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 16 \end{aligned}

المركز $(3, -2)$ ونصف القطر 4.

مثال 2 (طرفا قطر): الدائرة التي قطرها من $A(1, 3)$ إلى $B(5, -1)$ : المركز $(3, 1)$ ، و $r^{2} = (1 - 3)^{2} + (3 - 1)^{2} = 8$ ، فالمعادلة $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 8$ .

مثال 3 (شرط الدائرة): متى تمثل $x^{2} + y^{2} - 2kx + 4y + 2k + 1 = 0$ دائرة؟ بإكمال المربع: $(x - k)^{2} + (y + 2)^{2} = k^{2} - 2k + 3$ . والمقدار $k^{2} - 2k + 3 = (k - 1)^{2} + 2 > 0$ دائمًا، فالمعادلة دائرة لكل قيم $k$ .

مثال 4 (وضع مستقيم): الدائرة $x^{2} + y^{2} = 5$ والمستقيم $y = 2x + k$ . بالتعويض: $5x^{2} + 4kx + k^{2} - 5 = 0$ ، و $\frac{D}{4} = 4k^{2} - 5(k^{2} - 5) = 25 - k^{2}$ . يقطعها في نقطتين عندما $-5 < k < 5$ ، ويمسها عندما $k = \pm 5$ .

مثال 5 (طول الوتر): الدائرة $x^{2} + y^{2} = 25$ والمستقيم $3x + 4y - 15 = 0$ : $d = \frac{|-15|}{5} = 3$ ، فنصف الوتر $\sqrt{25 - 9} = 4$ ، وطول الوتر 8.

مثال 6 (مماس): المماس للدائرة $x^{2} + y^{2} = 25$ عند $(3, -4)$ : $3x - 4y = 25$ .

مثال 7 (وضع دائرتين): $x^{2} + y^{2} = 9$ (المركز $(0, 0)$ و $r = 3$ ) و $(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ (المركز $(4, 3)$ و $r' = 2$ ). البعد $d = 5 = r + r'$ ، فهما متماستان من الخارج.

مثال 8 (دائرة بنقطتي التقاطع): أوجد الدائرة المارة بنقطتي تقاطع $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ و $x^{2} + y^{2} - 4x = 0$ وبالنقطة $(3, 1)$ . نكتب:

k(x^{2} + y^{2} - 4x) + (x^{2} + y^{2} - 4) = 0

والتعويض بـ $(3, 1)$ يعطي $k(10 - 12) + (10 - 4) = 0$ أي $k = 3$ ، فتكون $4x^{2} + 4y^{2} - 12x - 4 = 0$ ، أي $x^{2} + y^{2} - 3x - 1 = 0$ . (وعند $k = -1$ نحصل على الوتر المشترك $x = 1$ .)

ملاحظات مهمة

في الصورة القياسية انتبه للإشارات: $(x + 2)^{2}$ تعني أن الإحداثي السيني للمركز $-2$ .
المعادلة $x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0$ لا تمثل دائرة دائمًا؛ تحقق من أن الطرف الأيمن بعد إكمال المربع موجب.
في مسائل الأوضاع استخدم المميّز إذا كان المستقيم مجهولًا، والبعد $d$ إذا كان نصف القطر مجهولًا.
ارسم شكلًا تقريبيًّا دائمًا، خاصة في مسائل المماس والدوائر التي تمس المحاور.

المفاهيم الأساسية

الصورة القياسية $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ ، والعامة $x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0$ .
تمثل المعادلة دائرة إذا كان الطرف الأيمن بعد إكمال المربع موجبًا.
مستقيم ودائرة: $d < r$ نقطتان، $d = r$ تماس، $d > r$ لا تقاطع.
طول الوتر $2\sqrt{r^{2} - d^{2}}$ ، والمماس لـ $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ عند $(x_1, y_1)$ : $x_1x + y_1y = r^{2}$ .
وضع دائرتين يتحدد بمقارنة $d$ مع $r + r'$ و $r - r'$ .

ملخص الدرس

معادلة الدائرة تعبر عن تساوي بعد نقاطها عن المركز، ونكتبها بالصورة القياسية أو العامة، ونتنقل بينهما بإكمال المربع الذي يكشف أيضًا متى تمثل المعادلة دائرة. ونحدد وضع مستقيم بالنسبة إلى دائرة بالمميّز أو بمقارنة بعد المركز بنصف القطر، ومنه نحسب طول الوتر. والمماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس، ووضع دائرتين يتحدد بمقارنة البعد بين المركزين بمجموع نصفي القطرين والفرق بينهما، والصورة $k\,C_1 + C_2 = 0$ تعطي الدوائر المارة بنقطتي تقاطع دائرتين.

أسئلة للتدريب

أوجد المركز ونصف القطر للدائرة $x^{2} + y^{2} + 8x - 2y + 8 = 0$ .
أوجد معادلة الدائرة التي مركزها $(-3, 2)$ وتمس محور $x$ .
أوجد طول الوتر الذي تقطعه الدائرة $x^{2} + y^{2} = 10$ من المستقيم $x + 3y - 5 = 0$ .
أوجد معادلة المماس للدائرة $x^{2} + y^{2} = 13$ عند النقطة $(2, -3)$ .
حدد وضع الدائرتين $x^{2} + y^{2} = 16$ و $(x - 3)^{2} + y^{2} = 1$ .