ملخص المكثف — ثانية ثانوي

معلومات الدرس

الشعبة: مسار الطب وعلوم الحياة (مادة تخصصية اختيارية: يختار الطالب بينها وبين الرياضيات)
الترم: الثاني
رقم الدرس: 2-6 (الفصل الثاني: الكهرباء الساكنة)

المحتوى الرئيسي

تعريف المكثف والسعة الكهربية

المكثف عنصر كهربي يُستخدَم لتخزين الشحنة الكهربية (وبالتالي الطاقة الكهربية)، ويتكوّن في أبسط صوره من موصلين (لوحين معدنيين مثلًا) يفصل بينهما عازل، حيث يحمل أحدهما شحنة موجبة $+Q$ والآخر شحنة سالبة $-Q$ مساوية لها في المقدار. عند توصيل المكثف بمصدر جهد $V$ (كبطارية)، يتناسب مقدار الشحنة $Q$ المختزنة عليه طرديًا مع فرق الجهد المطبق، والثابت في هذا التناسب يُسمى السعة الكهربية $C$ :

Q = CV

السعة الكهربية خاصية للمكثف نفسه (تعتمد على تصميمه الهندسي وليس على الشحنة أو الجهد المطبقين عليه)، وتُقاس بوحدة الفاراد (رمزه F)، حيث الفاراد الواحد يعني أن المكثف يختزن كولوم واحد من الشحنة عند فرق جهد مقداره فولت واحد:

1 \text{ فاراد} = 1 \text{ كولوم/فولت}

ولأن الفاراد وحدة كبيرة جدًا عمليًا، تُستخدَم مضاعفاتها الصغرى شائعًا مثل الميكروفاراد ( $1\mu F = 10^{-6}F$ ) والنانوفاراد والبيكوفاراد.

المكثف المتوازي الألواح

أشيع أنواع المكثفات هو المكثف المتوازي الألواح، ويتكوّن من لوحين معدنيين متوازيين مساحة كل منهما $A$ ، يفصل بينهما عازل (أو فراغ) بسُمك $d$ . باستخدام العلاقة $E=\Delta V/d$ للمجال المنتظم بين اللوحين (من البند السابق)، وعلاقة إضافية تربط شدة المجال بكثافة الشحنة على اللوحين، يمكن اشتقاق سعة هذا المكثف:

C = \frac{\varepsilon A}{d}

حيث $\varepsilon$ (إبسيلون) ثابت يُسمى السماحية الكهربية للمادة العازلة بين اللوحين (وتزداد بزيادتها سعة المكثف)، و $A$ مساحة تراكب اللوحين، و $d$ المسافة الفاصلة بينهما. تُظهر هذه العلاقة أن سعة المكثف تزداد بزيادة مساحة اللوحين، وتقل بزيادة المسافة الفاصلة بينهما، وتزداد أيضًا باستخدام عازل ذي سماحية أعلى بدلًا من الفراغ أو الهواء.

الطاقة المختزنة في المكثف

لشحن مكثف من الصفر حتى شحنة $Q$ عند فرق جهد نهائي $V$ ، يجب بذل شغل ضد التنافر التدريجي المتزايد بين الشحنات المتراكمة على اللوحين. هذا الشغل يُختزَن كطاقة وضع كهربية في المكثف، ويُحسب (بأخذ متوسط فرق الجهد أثناء عملية الشحن التدريجية، وهو $V/2$ ) بالعلاقة:

U = \frac{1}{2}QV

وباستخدام $Q=CV$ ، يمكن كتابة الطاقة بصيغتين بديلتين مفيدتين:

U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C}

وتُستخدَم الصيغة الأنسب حسب المعطيات المتوفرة في كل مسألة.

توصيل المكثفات على التوازي

عند توصيل عدة مكثفات على التوازي (بحيث تكون أطرافها المتناظرة موصولة معًا عند نفس نقطتي الجهد)، فإن فرق الجهد على كل مكثف يكون متساويًا وهو نفس فرق الجهد الكلي $V$ ، بينما تتوزع الشحنة الكلية بينها. السعة المكافئة لمجموعة مكثفات على التوازي هي مجموع سعاتها الفردية:

C_{\text{توازي}} = C_1+C_2+C_3+\cdots

أي أن توصيل المكثفات على التوازي دائمًا يزيد السعة المكافئة (يشبه زيادة مساحة اللوحين الفعالة).

توصيل المكثفات على التوالي

عند توصيل عدة مكثفات على التوالي (متتابعة على نفس المسار)، فإن كل مكثف يحمل نفس مقدار الشحنة $Q$ (نتيجة الحث الكهربي المتتابع)، بينما يتوزع فرق الجهد الكلي بينها. مقلوب السعة المكافئة لمجموعة مكثفات على التوالي يساوي مجموع مقلوبات سعاتها الفردية:

\frac{1}{C_{\text{توالي}}} = \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}+\cdots

أي أن توصيل المكثفات على التوالي دائمًا يُنقص السعة المكافئة عن أصغر سعة فردية فيها (يشبه زيادة المسافة الفعالة الفاصلة).

النقاط الرئيسية

السعة الكهربية: $C=\frac{Q}{V}$ ، وحدتها الفاراد ( $=$ كولوم/فولت).
سعة المكثف المتوازي الألواح: $C=\frac{\varepsilon A}{d}$ .
الطاقة المختزنة: $U=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}CV^2=\frac{Q^2}{2C}$ .
توازي المكثفات: $C_{\text{توازي}}=C_1+C_2+\cdots$ (سعة أكبر، جهد مشترك).
توالي المكثفات: $\frac{1}{C_{\text{توالي}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots$ (سعة أصغر، شحنة مشتركة).

تطبيقات / أمثلة

مثال 1: مكثف سعته $4\mu F$ تم توصيله بفرق جهد 12 فولت. أوجد مقدار الشحنة المختزنة عليه، والطاقة المختزنة فيه.

الحل: الشحنة:

Q = CV = 4\times10^{-6}\times12 = 4.8\times10^{-5} \text{ كولوم}

والطاقة:

U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\times4\times10^{-6}\times(12)^2 = \frac{1}{2}\times4\times10^{-6}\times144 = 2.88\times10^{-4} \text{ جول}

مثال 2 (توازي): ثلاثة مكثفات سعاتها 2 ميكروفاراد، 3 ميكروفاراد، 5 ميكروفاراد موصولة على التوازي. أوجد السعة المكافئة.

الحل:

C_{\text{توازي}} = 2+3+5 = 10\,\mu F

مثال 3 (توالي): مكثفان سعتاهما 6 ميكروفاراد و3 ميكروفاراد موصولان على التوالي. أوجد السعة المكافئة.

الحل:

\frac{1}{C_{\text{توالي}}} = \frac{1}{6}+\frac{1}{3} = \frac{1}{6}+\frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

C_{\text{توالي}} = 2\,\mu F

ونلاحظ أن السعة المكافئة (2 ميكروفاراد) أصغر من أصغر سعة فردية في المجموعة (3 ميكروفاراد)، كما هو متوقع من طبيعة التوصيل على التوالي.

ملاحظات

في التوصيل على التوازي، الجهد مشترك بين كل المكثفات وتتوزع الشحنة حسب سعة كل مكثف؛ وفي التوصيل على التوالي، الشحنة مشتركة بين كل المكثفات ويتوزع الجهد حسب مقلوب سعة كل مكثف — هذا التماثل العكسي مفيد لتذكر القوانين وتمييزها عن دمج المقاومات (الذي سنراه بصيغة معاكسة في فصل الدوائر الكهربية).
المكثفات عنصر أساسي في كثير من الأجهزة الطبية والحيوية (كمولّدات النبضات الكهربية وأجهزة إزالة الرجفان القلبي)، حيث تُستغَل قدرتها على تخزين طاقة كبيرة نسبيًا وتفريغها بسرعة عالية.

الأهداف العامة

أن يعرّف الطالب المكثف الكهربي والسعة الكهربية، ويحدد وحدة قياسها.
أن يشتق الطالب علاقة سعة المكثف المتوازي الألواح بدلالة أبعاده ومسافة الفصل بين لوحيه.
أن يحسب الطالب السعة المكافئة لمجموعة مكثفات موصلة على التوالي أو على التوازي.
أن يحسب الطالب الطاقة المختزنة في مكثف مشحون.