أهداف التعلم

• أن يتعرف الطالب على مكونات المستوى الإحداثي (المحورين ونقطة الأصل والأرباع).
• أن يمثل الطالب نقطة معلومة الإحداثيات على المستوى الإحداثي.
• أن يقرأ الطالب إحداثيي نقطة ممثلة على المستوى الإحداثي.
• أن يحدد الطالب الربع الذي تقع فيه نقطة من إشارتي إحداثييها.
• أن يحسب الطالب طول قطعة مستقيمة أفقية أو رأسية باستخدام إحداثيات طرفيها.

شرح الدرس

مكونات المستوى الإحداثي

المستوى الإحداثي (الديكارتي) يتكون من مستقيمين متعامدين يتقاطعان في نقطة تسمى نقطة الأصل ورمزها $O$:

• المحور السيني (الأفقي) ويرمز له $x$.
• المحور الصادي (الرأسي) ويرمز له $y$.

يقسم هذان المحوران المستوى إلى أربع مناطق تسمى الأرباع، ويُرقَّم كل ربع كما يلي (بدءًا من أعلى يمين وبعكس اتجاه عقارب الساعة): الربع الأول، الربع الثاني، الربع الثالث، الربع الرابع.

تمثيل النقطة بزوج مرتب

تُمثَّل كل نقطة في المستوى الإحداثي بزوج مرتب من الأعداد $(x, y)$، حيث $x$ هو الإحداثي السيني (بعد النقطة عن المحور الصادي، ويُقاس أفقيًا)، و $y$ هو الإحداثي الصادي (بعد النقطة عن المحور السيني، ويُقاس رأسيًا). لتمثيل نقطة $(x, y)$، نتحرك من نقطة الأصل مسافة $x$ أفقيًا (يمينًا إذا كان $x$ موجبًا، يسارًا إذا كان سالبًا)، ثم نتحرك مسافة $y$ رأسيًا (لأعلى إذا كان $y$ موجبًا، لأسفل إذا كان سالبًا).

تحديد الربع من إشارتي الإحداثيين

يمكن معرفة الربع الذي تقع فيه نقطة مباشرة من إشارتي إحداثييها:

• الربع الأول: $x \gt 0$ و $y \gt 0$ (كلاهما موجب).
• الربع الثاني: $x \lt 0$ و $y \gt 0$.
• الربع الثالث: $x \lt 0$ و $y \lt 0$ (كلاهما سالب).
• الربع الرابع: $x \gt 0$ و $y \lt 0$.

أما إذا كان $x = 0$ فالنقطة تقع على المحور الصادي، وإذا كان $y = 0$ فالنقطة تقع على المحور السيني، وإذا كان $x=0, y=0$ معًا فالنقطة هي نقطة الأصل نفسها.

المسافة بين نقطتين على استقامة أفقية أو رأسية

إذا كانت نقطتان لهما نفس الإحداثي الصادي $y$ (أي تقعان على استقامة أفقية واحدة)، فإن المسافة بينهما تساوي القيمة المطلقة للفرق بين إحداثييهما السينيين:

حيث $d$ المسافة بين النقطتين. وبالمثل، إذا كانت نقطتان لهما نفس الإحداثي السيني $x$ (تقعان على استقامة رأسية واحدة)، فإن المسافة بينهما تساوي القيمة المطلقة للفرق بين إحداثييهما الصاديين:

مسقط نقطة ومسقط قطعة مستقيمة على المحورين

مسقط النقطة على محور هو موقع العمود النازل منها على هذا المحور:

• مسقط النقطة $(x, y)$ على محور $x$ هو $(x, 0)$.
• مسقط النقطة $(x, y)$ على محور $y$ هو $(0, y)$.

فمسقط النقطة $(3, -2)$ على محور $x$ هو $(3, 0)$، وعلى محور $y$ هو $(0, -2)$.

ومسقط القطعة المستقيمة على محور هو القطعة الواصلة بين مسقطي طرفيها على هذا المحور؛ فمسقط $\overline{AB}$ حيث $A(1, 2)$ و$B(5, 6)$ على محور $x$ هو القطعة من $(1, 0)$ إلى $(5, 0)$، وطولها $|5 - 1| = 4$ وحدات.

منتصف قطعة مستقيمة

إذا كانت $A(x_1, y_1)$ و$B(x_2, y_2)$ فإن نقطة منتصف $\overline{AB}$ هي:

أي نأخذ متوسط الإحداثيين السينيين ومتوسط الإحداثيين الصاديين.

أسئلة للتدريب

• مثّل النقاط التالية على المستوى الإحداثي وحدد ربع كل منها: $E(4,-2)$، $F(-5,-3)$، $G(0,6)$.
• ما إحداثيا نقطة الأصل؟ وفي أي المحاور تقع النقطة $(0, -4)$؟
• أوجد المسافة بين النقطتين $(6, 3)$ و $(-1, 3)$.
• أوجد المسافة بين النقطتين $(4, 8)$ و $(4, -5)$.
• إذا كانت نقطة إحداثياها $(a, b)$ تقع في الربع الثالث، فما إشارة كل من $a$ و $b$؟
• ثلاثة رؤوس لمربع هي $(0, 0)$ و $(4, 0)$ و $(4, 4)$. أوجد الرأس الرابع ومحيط المربع.
• أوجد مسقط النقطة $(-5, 2)$ على كل من المحورين.
• أوجد منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين $(-2, 7)$ و$(6, 1)$.