ملخص الوسط الحسابي — أولى إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 3: الإحصاء

عندما نسأل عن “مستوى” فصل في اختبار، لا نذكر درجات جميع الطلاب، بل نبحث عن قيمة واحدة تعبر عنهم. الوسط الحسابي من أشهر هذه القيم، وهو ما نسميه في الحياة اليومية “المتوسط”.

أهداف التعلم

أن يعرّف الطالب الوسط الحسابي باعتباره أحد مقاييس النزعة المركزية.
أن يحسب الطالب الوسط الحسابي لبيانات أولية غير مبوّبة.
أن يحسب الطالب الوسط الحسابي من جدول تكراري بسيط.
أن يستخدم الطالب الوسط الحسابي للمقارنة بين مجموعتين من البيانات.
أن يوضح الطالب أثر القيم الشاذة (المتطرفة) على قيمة الوسط الحسابي.

شرح الدرس

مفهوم الوسط الحسابي

خط أعداد عليه الدرجات 10 و12 و15 و18 و20 ومثلث اتزان عند الوسط الحسابي 15

الوسط الحسابي (يُسمى أيضًا المتوسط الحسابي) هو أحد أهم مقاييس النزعة المركزية، ويمثل قيمة واحدة تلخص مجموعة البيانات وتعبّر عن “مركزها” أو “معدلها العام”. يُحسب الوسط الحسابي لمجموعة بيانات $x_1, x_2, ..., x_n$ (عددها $n$ ) بالقانون:

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}

أي مجموع القيم مقسومًا على عددها. ويُرمز للوسط الحسابي عادة بالرمز $\bar{x}$ (ويُقرأ “إكس شرطة”).

مقاييس النزعة المركزية الثلاثة

المقياس	معناه	مثال
الوسط الحسابي	مجموع القيم ÷ عددها	القيم $7, 4, 11, 8, 5$ : الوسط $= \frac{35}{5} = 7$
الوسيط	القيمة التي تتوسط القيم بعد ترتيبها	$2, 2, 3, 4, 6, 9, 9$ : الوسيط $4$
المنوال	القيمة الأكثر تكرارًا	$7, 3, 7, 6, 0, 9, 7$ : المنوال $7$

إذا كان عدد القيم زوجيًا فالوسيط هو متوسط القيمتين في المنتصف؛ فوسيط $2, 3, 4, 6, 9, 17$ هو $\frac{4 + 6}{2} = 5$ .
قد يكون للبيانات منوالان مثل $7, 8, 3, 7, 6, 0, 5, 8$ (المنوالان 7 و8)، وقد لا يكون لها منوال إذا لم تتكرر أي قيمة.

خطوات حساب الوسط الحسابي لبيانات غير مبوّبة

نجمع جميع قيم البيانات معًا للحصول على المجموع الكلي.
نقسم المجموع الكلي على عدد القيم $n$ .
الناتج هو الوسط الحسابي $\bar{x}$ .

الوسط الحسابي من جدول تكراري بسيط

عندما تكون البيانات معروضة في جدول تكراري بسيط (قيمة $x$ وتكرارها $f$ )، فإن كل قيمة تتكرر عدة مرات، فيُحسب المجموع الكلي بضرب كل قيمة في تكرارها ثم جمع النواتج، ويكون القانون:

\bar{x} = \frac{\sum (x \times f)}{\sum f}

حيث $\sum (x \times f)$ هو مجموع حاصل ضرب كل قيمة في تكرارها، و $\sum f$ هو مجموع كل التكرارات (وهو يساوي العدد الكلي للبيانات $n$ ).

استخدام الوسط الحسابي في المقارنة

يُستخدم الوسط الحسابي كثيرًا للمقارنة بين أداء مجموعتين أو أكثر؛ فمثلًا لمقارنة أداء فصلين في اختبار، نحسب الوسط الحسابي لدرجات كل فصل، ويكون الفصل صاحب الوسط الحسابي الأكبر هو الأعلى أداءً في المتوسط (مع ملاحظة أن هذا لا يعني بالضرورة تفوق كل طالب فيه على كل طالب في الفصل الآخر).

أثر القيم الشاذة على الوسط الحسابي

من عيوب الوسط الحسابي أنه حساس جدًا للقيم الشاذة (المتطرفة)؛ فإذا احتوت البيانات على قيمة كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا مقارنة بباقي القيم، فإنها تسحب الوسط الحسابي نحوها وتجعله غير ممثل جيدًا لغالبية البيانات. لذلك يجب الانتباه عند تفسير الوسط الحسابي في وجود قيم متطرفة، وقد يُفضَّل في هذه الحالة استخدام مقياس آخر (كالوسيط) لوصف مركز البيانات.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد الوسط الحسابي للدرجات: $12, 15, 18, 20, 10$ .

الحل: المجموع $= 12+15+18+20+10 = 75$ ، وعدد القيم $= 5$ .

\bar{x} = \frac{75}{5} = 15

مثال 2: الجدول التالي يوضح عدد أفراد أسر بعينة من العائلات:

عدد الأفراد $x$	التكرار $f$
3	4
4	6
5	3
6	2

أوجد الوسط الحسابي لعدد أفراد الأسرة.

الحل: نحسب $x \times f$ لكل صف:

3\times4=12,\quad 4\times6=24,\quad 5\times3=15,\quad 6\times2=12

مجموع $(x \times f) = 12+24+15+12 = 63$ ، ومجموع التكرارات $f = 4+6+3+2 = 15$ .

\bar{x} = \frac{63}{15} = 4.2

مثال 3: درجات 5 طلاب في اختبار: $70, 75, 72, 68, 15$ . أوجد الوسط الحسابي، وناقش تأثير إحدى القيم عليه.

الحل: المجموع $= 70+75+72+68+15 = 300$ ، وعدد القيم $=5$ .

\bar{x} = \frac{300}{5} = 60

نلاحظ أن القيمة $15$ قيمة شاذة (منخفضة جدًا مقارنة بالباقي)، وقد خفضت الوسط الحسابي إلى 60 رغم أن أربعة من الطلاب الخمسة درجاتهم فوق 68، مما يوضح حساسية الوسط الحسابي للقيم المتطرفة.

مثال 4 (قيمة ناقصة): حصلت سارة في ثلاثة اختبارات على 81 و94 و88 درجة من 100. ما أقل درجة يمكن أن تحصل عليها في أحد الاختبارين التاليين ليصبح متوسطها في الاختبارات الخمسة 83؟

الحل: مجموع الدرجات المطلوب للاختبارات الخمسة $= 5 \times 83 = 415$ . مجموع الاختبارات الثلاثة $= 81 + 94 + 88 = 263$ . إذن مجموع الاختبارين الأخيرين $= 415 - 263 = 152$ . وبما أن أقصى درجة في أحدهما 100، فأقل درجة ممكنة في الآخر $= 152 - 100 = 52$ .

مثال 5 (تكرار مجهول): في جدول ساعات عمل: القيم $x$ هي 5 و6 و7 و8 و9 و10، وتكراراتها $f$ هي 12 و $n$ و30 و39 و16 و9. أوجد $n$ إذا كان الوسط الحسابي 7.5 ساعة.

الحل: $\sum (x \times f) = 60 + 6n + 210 + 312 + 144 + 90 = 816 + 6n$ ، و $\sum f = 106 + n$ .

\frac{816 + 6n}{106 + n} = 7.5

بالضرب التبادلي: $816 + 6n = 795 + 7.5n$ ، ومنها $21 = 1.5n$ ، أي $n = 14$ .

المفاهيم الأساسية

الوسط الحسابي $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$ (مجموع القيم ÷ عددها) لبيانات غير مبوّبة.
من جدول تكراري بسيط: $\bar{x} = \frac{\sum (x \times f)}{\sum f}$ .
يُستخدم لتلخيص البيانات في قيمة واحدة ولمقارنة مجموعات مختلفة.
الوسيط القيمة الوسطى بعد الترتيب، والمنوال القيمة الأكثر تكرارًا.
الوسط الحسابي حساس للقيم الشاذة (المتطرفة) وقد يتأثر بها بشدة، والوسيط يكون حينئذ أصدق تمثيلًا.

ملخص الدرس

الوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسومًا على عددها، ومن الجدول التكراري البسيط يساوي مجموع حواصل ضرب القيم في تكراراتها مقسومًا على مجموع التكرارات. يفيد الوسط الحسابي في تلخيص البيانات والمقارنة بين المجموعات، لكنه يتأثر كثيرًا بالقيم الشاذة، فينبغي الانتباه لها عند تفسيره.

أسئلة للتدريب

أوجد الوسط الحسابي للأعداد: $8, 12, 14, 10, 6$ .
الجدول التالي يوضح عدد الكتب التي قرأها مجموعة من الطلاب في شهر: (2 كتاب، تكرار 5)، (3 كتب، تكرار 8)، (4 كتب، تكرار 4)، (5 كتب، تكرار 3). أوجد الوسط الحسابي.
درجات فصل في اختبار: $18, 20, 19, 17, 20, 16$ من 20. أوجد الوسط الحسابي.
إذا كان الوسط الحسابي لخمسة أعداد يساوي 12، وكان مجموع أربعة منها 44، أوجد العدد الخامس.
وضّح بمثال من عندك كيف يمكن لقيمة شاذة واحدة أن تغيّر الوسط الحسابي بشكل كبير.