ملخص المعادلات الخطية — أولى إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 2: الجبر

كثير من المسائل اليومية تنتهي إلى سؤال واحد: ما العدد المجهول الذي يحقق شرطًا معينًا؟ في هذا الدرس نكتب هذه المسائل في صورة معادلة خطية ونتعلم خطوات منظمة لحلها والتحقق من صحة الحل.

أهداف التعلم

أن يعرّف الطالب المعادلة الخطية في متغير واحد ويميزها عن التعبير الجبري.
أن يحل الطالب معادلة خطية بسيطة باستخدام خاصيتي الجمع والضرب في المساواة.
أن يحل الطالب معادلات خطية تحتوي على كسور أو أقواس.
أن يحل الطالب معادلات يظهر فيها المتغير في الطرفين.
أن يترجم الطالب مسألة لفظية إلى معادلة خطية ويحلها.

شرح الدرس

مفهوم المعادلة الخطية

المعادلة هي جملة رياضية تحتوي على علامة يساوي (=) تربط بين مقدارين. المعادلة الخطية في متغير واحد هي معادلة يكون فيها أعلى أس للمتغير هو 1، وتُكتب في الصورة العامة:

ax + b = c

حيث $a, b, c$ أعداد معلومة، $a \neq 0$ ، و $x$ هو المتغير المجهول. حل المعادلة هو القيمة التي تجعل طرفي المعادلة متساويين عند التعويض بها.

خاصيتا الجمع والضرب في المساواة

ميزان متزن يحمل في كفة x و3 وحدات وفي الأخرى 7 وحدات؛ بطرح 3 من الكفتين نحصل على x = 4

لحل معادلة، نستخدم خاصيتين أساسيتين تحافظان على تساوي الطرفين:

خاصية الجمع في المساواة: يمكن جمع (أو طرح) نفس العدد من طرفي المعادلة دون أن يتغير حل المعادلة.
خاصية الضرب في المساواة: يمكن ضرب (أو قسمة) طرفي المعادلة في نفس العدد غير الصفري دون أن يتغير حل المعادلة.

الهدف من استخدام هاتين الخاصيتين هو عزل المتغير في طرف واحد من المعادلة للوصول إلى قيمته.

خطوات حل معادلة خطية بسيطة

نبسّط كل طرف من طرفي المعادلة على حدة (فك الأقواس إن وُجدت، وجمع الحدود المتشابهة).
نجمع أو نطرح لنقل الحدود العددية إلى طرف واحد والحدود المتغيرة إلى الطرف الآخر.
نقسم طرفي المعادلة على معامل المتغير للحصول على قيمته.
(اختياري للتحقق) نعوّض بالحل الناتج في المعادلة الأصلية للتأكد من تساوي الطرفين.

حل معادلات تحتوي أقواسًا أو كسورًا

عند وجود أقواس، نفكها أولًا بتوزيع الضرب على الحدود داخلها. وعند وجود كسور، يمكن التخلص منها بضرب طرفي المعادلة كاملين في المضاعف المشترك الأصغر لمقامات الكسور، مما يحوّل المعادلة إلى معادلة خالية من الكسور أسهل في الحل.

معادلات بمتغير في الطرفين

إذا ظهر المتغير في كلا طرفي المعادلة، نبدأ بجمع أو طرح حدّ المتغير من أحد الطرفين لجعله يظهر في طرف واحد فقط، ثم نتابع الخطوات المعتادة (نقل الحدود العددية، ثم القسمة على المعامل).

مجموعة التعويض ومجموعة الحل

مجموعة التعويض: المجموعة التي نختار منها قيم المتغير، مثل $N$ أو $Z$ أو $Q$ .
مجموعة الحل: مجموعة القيم من مجموعة التعويض التي تحقق المعادلة.

وقد يكون للمعادلة نفسها حل في مجموعة ولا يكون لها حل في مجموعة أخرى:

المعادلة	الحل الجبري	في $N$	في $Z$	في $Q$
$x + 5 = 2$	$x = -3$	$\phi$	$\{-3\}$	$\{-3\}$
$2x = 3$	$x = \frac{3}{2}$	$\phi$	$\phi$	$\left\{\frac{3}{2}\right\}$
$x - 1 = 4$	$x = 5$	$\{5\}$	$\{5\}$	$\{5\}$

فإذا لم يكن الحل عنصرًا في مجموعة التعويض كانت مجموعة الحل هي $\phi$ .

ترجمة المسائل اللفظية إلى معادلات

لحل مسألة لفظية، نرمز للمجهول بمتغير (غالبًا $x$ )، ثم نترجم العلاقات الواردة في نص المسألة إلى معادلة خطية باستخدام نفس المفاتيح اللغوية المستخدمة في التعبيرات الجبرية، ثم نحل المعادلة الناتجة ونتحقق من معقولية الحل في سياق المسألة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حل المعادلة $2x + 5 = 17$ .

الحل:

2x + 5 = 17

2x = 17 - 5 = 12

x = \frac{12}{2} = 6

تحقق: $2(6)+5 = 12+5 = 17$ صحيح.

مثال 2: حل المعادلة $3(x - 2) = x + 8$ .

الحل: نفك القوس أولًا:

3x - 6 = x + 8

نطرح $x$ من الطرفين ونضيف $6$ إلى الطرفين، فتجتمع حدود $x$ في طرف والأعداد في الطرف الآخر:

3x - x = 8 + 6

2x = 14 \Longrightarrow x = 7

مثال 3: حل المعادلة $\frac{x}{3} + 2 = 5$ .

الحل: نطرح 2 من الطرفين:

\frac{x}{3} = 3

ثم نضرب الطرفين في 3:

x = 9

مثال 4 (مسألة لفظية): عدد إذا أُضيف إليه 7 ثم ضُرب الناتج في 2 كانت النتيجة 26. أوجد العدد.

الحل: نرمز للعدد بـ $x$ ، فتكون المعادلة:

2(x + 7) = 26

x + 7 = 13

x = 6

مثال 5: حل المعادلة $\frac{x+1}{2} = \frac{x}{3} + 1$ .

الحل: نضرب الطرفين في $6$ (المضاعف المشترك الأصغر للمقامين):

3(x+1) = 2x + 6

3x + 3 = 2x + 6 \Longrightarrow x = 3

تحقق: الطرف الأول $\frac{3+1}{2} = 2$ ، والطرف الثاني $\frac{3}{3} + 1 = 2$ .

مثال 6 (مسألة من الحياة): أجرة سيارة تبدأ بـ 10 جنيهات عند فتح العداد، ويُضاف إليها 5.5 جنيه عن كل كيلومتر. إذا دفع راكب 87 جنيهًا، فكم كيلومترًا قطعت السيارة؟

الحل: نفرض أن عدد الكيلومترات $x$ :

10 + 5.5x = 87

5.5x = 77 \Longrightarrow x = \frac{77}{5.5} = 14

إذن قطعت السيارة 14 كيلومترًا.

مثال 7: أوجد مجموعة حل المعادلة $3x + 1 = 0$ في $Z$ ثم في $Q$ .

الحل: $3x = -1$ ، ومنها $x = -\frac{1}{3}$ . وبما أن $-\frac{1}{3} \notin Z$ فإن مجموعة الحل في $Z$ هي $\phi$ ، وفي $Q$ هي $\left\{-\frac{1}{3}\right\}$ .

المفاهيم الأساسية

المعادلة الخطية في متغير واحد: $ax + b = c$ ، $a \neq 0$ .
خاصية الجمع: يمكن جمع/طرح نفس العدد من الطرفين. خاصية الضرب: يمكن ضرب/قسمة الطرفين على نفس العدد غير الصفري.
لحل معادلة بأقواس: نفك الأقواس أولًا. لحل معادلة بكسور: نضرب في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات.
عند وجود المتغير في الطرفين، نجمّعه في طرف واحد أولًا.
يمكن التحقق من صحة الحل بالتعويض في المعادلة الأصلية.
مجموعة الحل تتوقف على مجموعة التعويض ( $N$ أو $Z$ أو $Q$ )، وقد تكون $\phi$ .

ملخص الدرس

المعادلة الخطية في متغير واحد هي معادلة أعلى أس للمتغير فيها يساوي 1. نحلها بعزل المتغير مستخدمين خاصيتي الجمع والضرب في المساواة: نفك الأقواس، ونتخلص من الكسور بالضرب في المضاعف المشترك الأصغر، ونجمع حدود المتغير في طرف واحد، ثم نقسم على معامله. ويؤكد التعويض في المعادلة الأصلية صحة الحل.

أسئلة للتدريب

حل المعادلة $5x - 3 = 22$ .
حل المعادلة $4(x + 1) = 2x + 10$ .
حل المعادلة $\frac{x}{4} - 1 = 2$ .
حل المعادلة $2x + 7 = 5x - 5$ .
عدد إذا طُرح منه 4 ثم ضُرب الناتج في 3 كانت النتيجة 21، أوجد العدد.
أوجد مجموعة حل المعادلة $x + 7 = 3$ في $N$ ثم في $Z$ .
أوجد مجموعة حل المعادلة $4x = 6$ في $Z$ ثم في $Q$ .