أهداف التعلم

• أن يعرّف الطالب العدد النسبي ويكتبه في أبسط صورة.
• أن يجمع الطالب ويطرح أعدادًا نسبية (كسورًا وأعدادًا عشرية) موجبة وسالبة.
• أن يضرب الطالب ويقسم أعدادًا نسبية مطبقًا قاعدة الإشارات.
• أن يحوّل الطالب بين الصورة الكسرية والصورة العشرية للعدد النسبي.
• أن يحسب الطالب قيمة مقدار يحتوي عمليات مختلطة على أعداد نسبية.

شرح الدرس

مراجعة العدد النسبي

العدد النسبي هو كل عدد يمكن كتابته في الصورة $\frac{a}{b}$ حيث $a, b$ عددان صحيحان، $b \neq 0$. وتشمل الأعداد النسبية: الأعداد الصحيحة، والكسور الاعتيادية، والأعداد العشرية المنتهية أو الدورية، بإشاراتها الموجبة والسالبة. فمثلًا $\frac{3}{4}, -\frac{2}{5}, 0.6, -1.25$ كلها أعداد نسبية. ويُرمز لمجموعة الأعداد النسبية بالرمز $Q$:

ومجموعة أعداد العد، ومجموعة الأعداد الطبيعية $N$، ومجموعة الأعداد الصحيحة $Z$، كلها مجموعات جزئية من $Q$؛ فالعدد الصحيح $-5$ مثلًا يُكتب $\frac{-5}{1}$.

الصور المختلفة للعدد النسبي

• صورة كسر: $\frac{3}{4}$.
• صورة عدد عشري منتهٍ: $\frac{3}{4} = 0.75$.
• صورة عدد عشري دائر: عند قسمة البسط على المقام قد يتكرر رقم أو أكثر إلى ما لا نهاية، مثل $\frac{1}{3} = 0.333\ldots$ ويُكتب $0.\overline{3}$، و$\frac{2}{11} = 0.1818\ldots = 0.\overline{18}$.
• صورة نسبة مئوية: $\frac{3}{4} = 75\%$.

جمع وطرح الأعداد النسبية (الكسور)

لجمع أو طرح كسرين، لا بد أولًا من توحيد المقامات (إيجاد مقام مشترك، والأفضل أصغر مضاعف مشترك)، ثم نجمع أو نطرح البسطين مع الاحتفاظ بالمقام الموحد، مطبقين قواعد الإشارة نفسها المستخدمة مع الأعداد الصحيحة:

أما بالنسبة للأعداد العشرية، فيتم جمعها أو طرحها بترتيب الفواصل العشرية تحت بعضها ثم تطبيق قواعد الإشارة كما في الأعداد الصحيحة.

ضرب الأعداد النسبية

لضرب كسرين، نضرب البسط في البسط والمقام في المقام مع تطبيق قاعدة الإشارات (يفضّل الاختصار قبل الضرب إن أمكن):

ولضرب الأعداد العشرية، نضربها كأعداد صحيحة أولًا (بتجاهل الفاصلة العشرية) ثم نضع الفاصلة في الناتج بحيث يكون عدد الأرقام العشرية فيه مساويًا لمجموع عدد الأرقام العشرية في العددين المضروبين.

قسمة الأعداد النسبية

قسمة كسر على كسر تكافئ ضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني:

فمثلًا:

مع تطبيق قاعدة إشارات القسمة نفسها المستخدمة مع الأعداد الصحيحة (متفقتان $\to$ موجب، مختلفتان $\to$ سالب).

المعكوس الضربي

المعكوس الضربي لعدد نسبي $\frac{a}{b}$ (حيث $a \neq 0$) هو $\frac{b}{a}$، لأن حاصل ضربهما يساوي $1$:

والصفر ليس له معكوس ضربي. وقسمة عدد على عدد آخر تساوي ضربه في معكوسه الضربي.

خواص العمليات على الأعداد النسبية

• الجمع والضرب في $Q$: منغلقان، وإبداليان، ودامجان، والمحايد الجمعي $0$، والمحايد الضربي $1$.
• لكل عدد نسبي $a$ معكوس جمعي $-a$، ولكل عدد نسبي غير الصفر معكوس ضربي.
• الضرب يتوزع على الجمع: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$.
• الطرح منغلق في $Q$ وليس إبداليًا.
• القسمة على عدد نسبي غير الصفر ناتجها دائمًا عدد نسبي.

التحويل بين الصورة الكسرية والعشرية

لتحويل كسر إلى عدد عشري، نقسم البسط على المقام مباشرة. ولتحويل عدد عشري منتهٍ إلى كسر، نكتب الرقم بدون فاصلة كبسط، ونضع في المقام العدد 1 متبوعًا بعدد من الأصفار يساوي عدد الأرقام العشرية، ثم نختصر الكسر الناتج إن أمكن:

ترتيب العمليات مع الأعداد النسبية

تنطبق نفس أولويات ترتيب العمليات المعروفة (الأقواس، ثم الأسس، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح) عند التعامل مع مقادير مختلطة تحتوي على كسور وأعداد عشرية معًا.

أسئلة للتدريب

• احسب: $\frac{3}{4} - \left(-\frac{1}{6}\right)$.
• احسب: $\left(-\frac{7}{10}\right) \times \frac{5}{14}$.
• احسب: $\frac{8}{9} \div \left(-\frac{4}{3}\right)$.
• حوّل العدد العشري $1.25$ إلى كسر في أبسط صورة.
• اكتب $\frac{5}{9}$ في صورة عدد عشري دائر.
• أوجد المعكوس الضربي لكل من: $-\frac{3}{7}$ و$6$ و$0.2$.
• احسب قيمة المقدار $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \div \left(-\frac{5}{6}\right)$.
• رتّب الأعداد التالية تصاعديًا: $-\frac{1}{2}$، $0.3$، $-0.75$، $\frac{2}{5}$.