ملخص التعبيرات والصيغ الرياضية — أولى إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 2: الجبر

عندما نقول “ثمن $x$ من الأقلام إذا كان ثمن القلم 5 جنيهات” فإننا نصف كمية تتغير بتغير عدد الأقلام. تتيح لنا التعبيرات الجبرية كتابة مثل هذه العلاقات باختصار، ثم حساب قيمتها عند أي قيمة للمتغير.

أهداف التعلم

أن يترجم الطالب جملة لفظية إلى تعبير جبري رياضي والعكس.
أن يميز الطالب بين الحد والمعامل والحدود المتشابهة في التعبير الجبري.
أن يبسط الطالب تعبيرًا جبريًا بجمع الحدود المتشابهة.
أن يحسب الطالب قيمة تعبير جبري عند قيم عددية معينة للمتغيرات.
أن يستخدم الطالب الصيغ الرياضية الجاهزة (كصيغ المحيط والمساحة) في حساب كميات فعلية.

شرح الدرس

المتغير والتعبير الجبري

المتغير هو رمز (غالبًا حرف لاتيني مثل $x, y, n$ ) يُستخدم لتمثيل عدد غير معلوم أو قابل للتغير. التعبير الجبري هو مقدار رياضي يتكون من أعداد ومتغيرات مرتبطة بعمليات حسابية (جمع، طرح، ضرب، قسمة، أسس)، مثل $3x + 5$ أو $2x^2 - 4x + 1$ .

الحد والمعامل

يتكون التعبير الجبري من حدود يفصل بينها إشارتا الجمع أو الطرح. كل حد يتكون من جزء عددي يسمى المعامل، وجزء متغير (حرف أو أكثر مرفوع لأس). فمثلًا في التعبير $5x^2 - 3x + 7$ :

الحد الأول $5x^2$ : معامله 5.
الحد الثاني $-3x$ : معامله $-3$ .
الحد الثالث $7$ : يسمى الحد المطلق أو الحد الثابت (لا يحتوي على متغير).

الحدود المتشابهة وجمعها

الحدود المتشابهة هي الحدود التي تحتوي على نفس المتغير مرفوعًا لنفس الأس، وتختلف فقط في المعامل (إن وُجد اختلاف)، مثل $3x^2$ و $-7x^2$ . لجمع أو طرح حدود متشابهة، نجمع أو نطرح معاملاتها فقط ونُبقي الجزء المتغير كما هو:

3x^2 + 5x^2 = (3+5)x^2 = 8x^2

أما الحدود غير المتشابهة (مثل $x^2$ و $x$ ) فلا يمكن جمعها في حد واحد، وتبقى كل منها منفصلة في التعبير المبسّط.

ترجمة الجمل اللفظية إلى تعبيرات جبرية

كثيرًا ما تصاغ المسائل الرياضية بجمل لفظية يجب ترجمتها إلى تعبيرات جبرية، باستخدام مفاتيح لغوية مثل:

“زيادة” أو “أكثر من” أو “مجموع” $\to$ عملية جمع (+).
“نقصان” أو “أقل من” أو “الفرق” $\to$ عملية طرح (−).
“ضعف” أو “مثلي” $\to$ ضرب في 2؛ “ثلاثة أمثال” $\to$ ضرب في 3.
“نصف” أو “ربع” $\to$ قسمة على 2 أو 4.

فمثلًا: “ضعف عدد مجهول زائد خمسة” تُترجم إلى $2x + 5$ ، و”عدد أقل من ضعف عدد آخر بثلاثة” قد تُترجم إلى $2y - 3$ .

حساب قيمة التعبير الجبري (التعويض)

لحساب قيمة تعبير جبري عند قيمة معينة للمتغير، نعوّض بقيمة المتغير مكان الرمز في كل مكان يظهر فيه، ثم نحسب الناتج مع مراعاة ترتيب العمليات. فمثلًا لحساب قيمة $2x^2 - 3x + 1$ عند $x = 2$ :

2(2)^2 - 3(2) + 1 = 2(4) - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3

التعبير والمعادلة والمتباينة

المفهوم	معناه	مثال
تعبير (مقدار) جبري	أعداد ومتغيرات بينها عمليات، دون علامة مساواة	$2x + 5$
معادلة	جملة رياضية تعبر عن تساوي تعبيرين	$2x + 5 = 11$
متباينة	جملة رياضية تعبر عن عدم تساوي تعبيرين باستخدام $<$ أو $>$	$2x + 5 > 11$

الصيغ الرياضية

الصيغة الرياضية هي معادلة أو تعبير جبري يربط بين عدة كميات ويُستخدم لحساب إحداها إذا عُلمت البقية، مثل صيغة محيط المستطيل $P = 2(l + w)$ حيث $l$ الطول و $w$ العرض، وصيغة مساحة المثلث $A = \frac{1}{2} b h$ حيث $b$ القاعدة و $h$ الارتفاع.

ومن الصيغ المفيدة في الحياة صيغة التحويل من درجة الحرارة الفهرنهايتية $F$ إلى الدرجة المئوية (السيليزية) $C$ :

C = (F - 32) \times \frac{5}{9}

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: بسّط التعبير: $4x^2 + 3x - 2x^2 + 5x - 7$ .

الحل: نجمع الحدود المتشابهة معًا: $(4x^2 - 2x^2) + (3x + 5x) - 7$

= 2x^2 + 8x - 7

مثال 2: ترجم الجملة التالية إلى تعبير جبري: “مجموع عدد ومربعه، مطروحًا منه أربعة”.

الحل: إذا رمزنا للعدد بـ $x$ ، فمربعه $x^2$ ، ومجموعهما $x + x^2$ ، ومطروحًا منه أربعة:

x^2 + x - 4

مثال 3: احسب قيمة التعبير $3x^2 - 2x + 5$ عند $x = -1$ .

الحل:

3(-1)^2 - 2(-1) + 5 = 3(1) + 2 + 5 = 3 + 2 + 5 = 10

مثال 4: مستطيل طوله $(2x+3)$ سم وعرضه $x$ سم. اكتب تعبيرًا جبريًا لمحيطه، ثم احسب قيمته عند $x = 4$ .

الحل: محيط المستطيل $P = 2(l + w) = 2\big((2x+3) + x\big) = 2(3x+3) = 6x + 6$ . عند $x = 4$ :

P = 6(4) + 6 = 24 + 6 = 30

أي أن المحيط $30$ سم.

مثال 5: توقع تطبيق الطقس أن تصل درجة الحرارة في أسوان إلى $95^\circ F$ . كم تساوي بالدرجة المئوية؟

الحل:

C = (95 - 32) \times \frac{5}{9} = 63 \times \frac{5}{9} = 7 \times 5 = 35

إذن درجة الحرارة $35^\circ C$ .

مثال 6: حدد نوع كل مما يأتي: $3x - 1$ ، $3x - 1 = 8$ ، $3x - 1 < 8$ .

الحل: الأول تعبير جبري، والثاني معادلة، والثالث متباينة.

المفاهيم الأساسية

التعبير الجبري يتكون من حدود، وكل حد له معامل عددي وجزء متغير.
الحدود المتشابهة: نفس المتغير ونفس الأس؛ تُجمع بجمع معاملاتها فقط.
كلمات مفتاحية لترجمة الجمل اللفظية: زيادة/مجموع (+)، نقصان/أقل من (−)، ضعف (×2)، نصف (÷2).
لحساب قيمة تعبير جبري، نعوّض بقيمة المتغير ثم نحسب مراعين ترتيب العمليات.
المعادلة تساوي تعبيرين، والمتباينة عدم تساويهما، والتعبير لا يحتوي علامة مساواة.
الصيغة الرياضية تربط بين كميات، وتُستخدم لحساب إحداها من الباقي، مثل $C = (F - 32) \times \frac{5}{9}$ .

ملخص الدرس

التعبير الجبري مكوَّن من حدود، ولكل حد معامل وجزء متغير. تُجمع الحدود المتشابهة بجمع معاملاتها فقط، ولا تُجمع الحدود غير المتشابهة. نترجم الجمل اللفظية إلى تعبيرات جبرية بالاعتماد على الكلمات الدالة على العمليات، ونحسب قيمة التعبير بالتعويض مع مراعاة ترتيب العمليات، ونستخدم الصيغ الرياضية لحساب كمية بمعلومية غيرها.

أسئلة للتدريب

بسّط التعبير: $7y - 3y^2 + 2y^2 - y + 6$ .
ترجم الجملة: “ثلاثة أمثال عدد، زائد سبعة” إلى تعبير جبري.
احسب قيمة التعبير $x^2 + 2x - 5$ عند $x = 3$ وعند $x = -2$ .
إذا كانت مساحة مثلث قاعدته $x$ سم وارتفاعه $(x+4)$ سم، اكتب تعبيرًا جبريًا لمساحته.
عيّن الحدود المتشابهة في التعبير: $5a^2b, \ 3ab^2, \ -2a^2b, \ 4ab$ .
حوّل $68^\circ F$ إلى الدرجة المئوية باستخدام الصيغة $C = (F - 32) \times \frac{5}{9}$ .