ملخص تطبيقات النسبة والتناسب — أولى إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 1: الأعداد والعمليات عليها (النسبة المئوية والنسبة والتناسب)

بعد أن تعلمت التناسب وخاصية الضرب التبادلي، حان الوقت لاستخدامهما في مواقف حقيقية: قراءة المسافات على الخريطة، وتكبير صورة حشرة صغيرة، وتوزيع أرباح مشروع بين الشركاء، وحساب سعر سلعة بعد الخصم. كل هذه المواقف تُحل بفكرة واحدة: تناسب بين كميتين.

أهداف التعلم

أن يحسب الطالب مقياس الرسم، والطول في الرسم، والطول الحقيقي.
أن يميز الطالب بين مقياس رسم للتصغير وآخر للتكبير.
أن يقسم الطالب كمية بنسبة معلومة بين شخصين أو أكثر (التقسيم التناسبي).
أن يحسب الطالب الخصم والزيادة باستخدام النسبة المئوية.
أن يوجد الطالب السعر الأصلي لسلعة بمعلومية سعرها بعد الخصم أو الزيادة.

شرح الدرس

أولًا: مقياس الرسم

مقياس الرسم نسبة تقارن بين الطول في الرسم (أو النموذج) والطول الحقيقي المقابل له:

k = \frac{\ell_1}{\ell_2}

حيث $k$ مقياس الرسم، و $\ell_1$ الطول في الرسم، و $\ell_2$ الطول الحقيقي.

ويجب أن يكون الطولان بالوحدة نفسها قبل كتابة المقياس.

إذا كان المقياس أصغر من 1 (مثل $1 : 600000$ ) فالرسم تصغير، كما في الخرائط.
إذا كان المقياس أكبر من 1 (مثل $4 : 1$ ) فالرسم تكبير، كما في صور الحشرات والخلايا.

ولإيجاد طول مجهول نكتب تناسبًا ونستخدم الضرب التبادلي.

ثانيًا: التقسيم التناسبي

التقسيم التناسبي تقسيم شيء (مال، أو أرض، أو وزن…) إلى جزأين أو أكثر بنسبة معلومة، ويُستخدم في تقسيم الأرباح والميراث وغيرها. خطواته:

نجمع حدود النسبة لنحصل على عدد الأجزاء.
نقسم الكمية الكلية على عدد الأجزاء لنحصل على قيمة الجزء الواحد.
نضرب قيمة الجزء في كل حد من حدود النسبة لنحصل على نصيب كل طرف.
نتحقق بجمع الأنصبة؛ فيجب أن يساوي المجموع الكمية الكلية.

ثالثًا: تطبيقات النسبة المئوية

النسبة المئوية نسبة مقامها 100؛ فـ $r\%$ تعني $\frac{r}{100}$ .

حساب الخصم (التخفيض): عند تخفيض سعر سلعة بنسبة $d\%$ :

D = P \times \frac{d}{100}

P_{\text{new}} = P - D

حيث $P$ سعر السلعة الأصلي، و $D$ قيمة التخفيض، و $P_{\text{new}}$ السعر بعد التخفيض.

حساب الزيادة (الإضافة): عند زيادة سعر سلعة بنسبة $t\%$ (ضريبة أو عمولة أو ربح):

I = P \times \frac{t}{100}

P_{\text{new}} = P + I

حيث $I$ قيمة الزيادة، و $P_{\text{new}}$ السعر بعد الزيادة.

إيجاد السعر الأصلي: إذا خُفض السعر بنسبة $15\%$ فإن المدفوع يمثل $100\% - 15\% = 85\%$ من السعر الأصلي، فنكتب تناسبًا ونحله.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (مقياس رسم للتصغير): خريطة مقياس رسمها $1 : 600000$ ، والمسافة بين نقطتين عليها 4.5 سم. أوجد المسافة الحقيقية بالكيلومتر.

الحل:

\frac{1}{600000} = \frac{4.5}{x}

حيث $x$ المسافة الحقيقية بالسنتيمتر. بالضرب التبادلي: المسافة الحقيقية $= 4.5 \times 600000 = 2700000$ سم.

وبما أن $1$ كم $= 1000$ م $= 100000$ سم، فإن المسافة $= 2700000 \div 100000 = 27$ كم.

مثال 2 (نموذج مصغر ومساحة): في نموذج لغرفة، كل 1 سم يمثل 1.2 متر في الحقيقة. طول الغرفة في النموذج 3 سم وعرضها 2.5 سم. أوجد مساحة الغرفة الحقيقية.

الحل: الطول الحقيقي $= 3 \times 1.2 = 3.6$ م، والعرض الحقيقي $= 2.5 \times 1.2 = 3$ م.

المساحة الحقيقية $= 3.6 \times 3 = 10.8$ متر مربع.

مثال 3 (مقياس رسم للتكبير): صورة مكبرة لحشرة طولها في الصورة 12 سم، وطولها الحقيقي 3 سم. أوجد مقياس الرسم.

الحل: مقياس الرسم $= \frac{12}{3} = \frac{4}{1}$ ، أي $4 : 1$ ، وهو أكبر من 1 فالصورة تكبير.

مثال 4 (تقسيم تناسبي): اشترك ثلاثة أشخاص في مشروع، ووُزعت أرباحه البالغة 2250000 جنيه بنسبة $6 : 4 : 5$ . أوجد نصيب كل منهم.

الحل: عدد الأجزاء $= 6 + 4 + 5 = 15$ ، وقيمة الجزء $= 2250000 \div 15 = 150000$ جنيه.

نصيب الأول $= 6 \times 150000 = 900000$ جنيه.
نصيب الثاني $= 4 \times 150000 = 600000$ جنيه.
نصيب الثالث $= 5 \times 150000 = 750000$ جنيه.

التحقق: $900000 + 600000 + 750000 = 2250000$ .

مثال 5 (خصم): هاتف سعره 12750 جنيهًا، خُفض سعره بنسبة $8\%$ . كم يصبح سعره؟

الحل: قيمة التخفيض $= 12750 \times \frac{8}{100} = 1020$ جنيهًا.

السعر بعد التخفيض $= 12750 - 1020 = 11730$ جنيهًا.

مثال 6 (السعر الأصلي): دفعت سالي 340 جنيهًا ثمنًا لحذاء بعد خصم $15\%$ . ما السعر الأصلي؟

الحل: المدفوع يمثل $85\%$ من السعر الأصلي $P$ :

\frac{85}{100} = \frac{340}{P}

بالضرب التبادلي: $85P = 34000$ ، ومنها $P = 400$ جنيه.

ملاحظات مهمة

وحّد وحدات الطول قبل حساب مقياس الرسم: $1$ م $= 100$ سم، و $1$ كم $= 1000$ م $= 100000$ سم.
مقياس الرسم لا وحدة له لأنه نسبة بين طولين من النوع نفسه.
لا تطرح نسبة الخصم من السعر مباشرة (مثل $340 + 15$ )؛ بل احسب قيمة الخصم أولًا أو استخدم النسبة المتبقية $85\%$ .

المفاهيم الأساسية

مقياس الرسم $k = \frac{\ell_1}{\ell_2}$ (الطول في الرسم ÷ الطول الحقيقي)؛ أصغر من 1 للتصغير، وأكبر من 1 للتكبير.
التقسيم التناسبي: نجمع الأجزاء، ونوجد قيمة الجزء، ثم نصيب كل طرف.
قيمة التخفيض $D = P \times \frac{d}{100}$ ، وقيمة الزيادة $I = P \times \frac{t}{100}$ ، حيث $P$ سعر السلعة.
السعر الأصلي يُوجد بتناسب بين النسبة المتبقية والمبلغ المدفوع.

ملخص الدرس

تُستخدم النسبة والتناسب في مقياس الرسم لقراءة الخرائط وتكبير الصور وتصغيرها، وفي التقسيم التناسبي لتوزيع المال والأرباح بنسبة معلومة، وفي النسبة المئوية لحساب الخصم والزيادة وإيجاد السعر الأصلي. وفي كل هذه التطبيقات نكتب تناسبًا صحيحًا ونحله بخاصية الضرب التبادلي.

أسئلة للتدريب

خريطة مقياس رسمها $1 : 20000$ ، فما الطول الحقيقي بالمتر لمسافة طولها على الخريطة 5 سم؟
صورة مكبرة لخلية طولها في الصورة 6 سم، ومقياس الرسم $300 : 1$ . ما الطول الحقيقي للخلية بالمليمتر؟
اقسم 900 جنيه بين شخصين بنسبة $4 : 5$ .
اشترك ثلاثة أشخاص في مشروع رأس ماله 500000 جنيه بنسبة $2 : 5 : 3$ . كم دفع كل منهم؟
سلعة سعرها 400 جنيه زاد سعرها بنسبة $8\%$ ، أوجد السعر الجديد.
سعر جاكيت بعد خصم $17\%$ هو 498 جنيهًا. أوجد سعره قبل الخصم.