ملخص المجموعات والعمليات عليها — أولى إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 1: الأعداد والعمليات عليها (مجموعات الأعداد)

نصنّف الأشياء باستمرار: أسماء الدول العربية التي يحمل علمها هلالًا، والأعداد التي تقبل القسمة على 2، والطلاب المشتركون في فريق الكرة. تمنحنا لغة المجموعات طريقة دقيقة لوصف هذه التصنيفات، ولمعرفة العناصر المشتركة بينها.

أهداف التعلم

أن يعرّف الطالب المجموعة ويعبر عنها بطريقة السرد وطريقة الصفة المميزة وشكل فن.
أن يميز الطالب بين المجموعة المنتهية وغير المنتهية والخالية.
أن يستخدم الطالب رمزي الانتماء $\in$ و $\notin$ ورمزي الاحتواء $\subset$ و $\not\subset$ استخدامًا صحيحًا.
أن يوجد الطالب جميع المجموعات الجزئية لمجموعة وعددها.
أن يوجد الطالب اتحاد مجموعتين وتقاطعهما ويمثلهما بشكل فن.

شرح الدرس

مفهوم المجموعة

المجموعة تجمّع من الأشياء المعروفة والمحددة تحديدًا تامًا. تسمى هذه الأشياء عناصر المجموعة، وتُكتب داخل القوسين $\{\;\}$ مفصولة بفواصل، دون تكرار ولا يُشترط الترتيب. ويُرمز للمجموعة عادة بحرف كبير مثل $A$ أو $B$ .

طرق التعبير عن المجموعة

إذا كانت $A$ مجموعة الأعداد الطبيعية الأصغر من 4، فيمكن التعبير عنها بثلاث طرق:

الطريقة	التعبير
السرد (القائمة)	$A = \{0, 1, 2, 3\}$
الصفة المميزة	$A = \{x : x \in N, x < 4\}$ حيث $N$ مجموعة الأعداد الطبيعية
شكل فن	منحنى مغلق مكتوب بداخله العناصر 0 و1 و2 و3

وتذكّر أن مجموعة الأعداد الطبيعية $N = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ .

أنواع المجموعات

المجموعة المنتهية: يمكن حصر عناصرها، مثل $X = \{2, 3, 5\}$ وعدد عناصرها 3.
المجموعة غير المنتهية: لا يمكن حصر عناصرها، مثل $N = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ .
المجموعة الخالية: لا تحتوي أي عنصر، ويُرمز لها بالرمز $\phi$ أو $\{\;\}$ ، مثل مجموعة الأعداد الصحيحة المحصورة بين 1 و2.

الانتماء

$4 \in A$ تُقرأ: 4 ينتمي إلى $A$ ، أي أن 4 عنصر في $A$ .
$9 \notin A$ تُقرأ: 9 لا ينتمي إلى $A$ .

والانتماء علاقة بين عنصر ومجموعة.

الاحتواء (المجموعة الجزئية)

تكون $B$ مجموعة جزئية من $A$ إذا كان كل عنصر من عناصر $B$ ينتمي إلى $A$ ، ونكتب $B \subset A$ وتُقرأ: $B$ محتواة في $A$ . وإذا وُجد عنصر واحد على الأقل في $B$ لا ينتمي إلى $A$ نكتب $B \not\subset A$ .

والاحتواء علاقة بين مجموعة ومجموعة، فلا نكتب $\{4\} \in A$ بل $\{4\} \subset A$ .

ملاحظتان:

المجموعة الخالية مجموعة جزئية من أي مجموعة، وكل مجموعة جزئية من نفسها.
عدد المجموعات الجزئية لمجموعة عدد عناصرها $n$ يساوي $2^n$ .

تساوي مجموعتين

تكون $A = B$ إذا كان لهما العناصر نفسها تمامًا؛ أي كل عنصر في $A$ ينتمي إلى $B$ ، وكل عنصر في $B$ ينتمي إلى $A$ .

العمليات على المجموعات

اتحاد مجموعتين

$A \cup B$ هي مجموعة العناصر التي تنتمي إلى $A$ أو إلى $B$ (أو إليهما معًا)، وتُكتب العناصر المشتركة مرة واحدة.

تقاطع مجموعتين

$A \cap B$ هي مجموعة العناصر المشتركة بين $A$ و $B$ . وإذا لم يوجد عنصر مشترك كان $A \cap B = \phi$ ، وتسمى المجموعتان منفصلتين (متباعدتين).

شكلا فن للمجموعتين A وB: الاتحاد يظلل الدائرتين معًا وعناصره 1 إلى 6، والتقاطع يظلل الجزء المشترك وعناصره 3 و4

حالات خاصة

إذا كانت $B \subset A$ فإن $A \cup B = A$ و $A \cap B = B$ .
لأي مجموعة $A$ : $A \cup \phi = A$ و $A \cap \phi = \phi$ .
إذا كانت $A = B$ فإن $A \cup B = A \cap B = A$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (الاحتواء): إذا كانت $X = \{1, 3, 4, 5, 6\}$ ، فأي المجموعتين جزئية من $X$ : $A = \{3, 5, 9\}$ أم $B = \{1, 5, 6\}$ ؟

الحل: $9 \in A$ لكن $9 \notin X$ ، إذن $A \not\subset X$ . أما كل عناصر $B$ (1 و5 و6) فتنتمي إلى $X$ ، إذن $B \subset X$ .

مثال 2 (المجموعات الجزئية): اكتب جميع المجموعات الجزئية للمجموعة $A = \{4, 6, 8\}$ .

الحل: $\phi$ ، $\{4\}$ ، $\{6\}$ ، $\{8\}$ ، $\{4, 6\}$ ، $\{4, 8\}$ ، $\{6, 8\}$ ، $\{4, 6, 8\}$ .

عددها 8، ويتفق مع القاعدة: $2^3 = 8$ .

مثال 3 (الاتحاد والتقاطع): إذا كانت $A = \{1, 2, 3, 4\}$ و $B = \{3, 4, 5, 6\}$ ، فأوجد $A \cup B$ و $A \cap B$ .

الحل:

A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

A \cap B = \{3, 4\}

مثال 4 (تساوي مجموعتين): إذا كانت $A$ مجموعة أرقام العدد 243، و $B$ مجموعة أرقام العدد 2234، فهل $A = B$ ؟

الحل: $A = \{2, 4, 3\}$ و $B = \{2, 3, 4\}$ ، فلهما العناصر نفسها، إذن $A = B$ ، ويكون $A \cup B = A \cap B = \{2, 3, 4\}$ .

مثال 5 (ثلاث مجموعات): إذا كانت $A = \{2, 3, 7\}$ و $B = \{3, 7\}$ و $C = \{1, 5, 7, 9\}$ ، فأوجد $B \cup C$ و $A \cap B \cap C$ .

الحل: $B \cup C = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ ، و $A \cap B \cap C = \{7\}$ لأن 7 هو العنصر الوحيد المشترك بين المجموعات الثلاث.

ملاحظات مهمة

لا يُكرر العنصر داخل المجموعة: مجموعة أرقام العدد 2234 هي $\{2, 3, 4\}$ .
الرمز $\in$ يربط عنصرًا بمجموعة، والرمز $\subset$ يربط مجموعة بمجموعة.
$\phi$ و $\{0\}$ مختلفتان: الأولى لا عناصر فيها، والثانية فيها العنصر 0.

المفاهيم الأساسية

المجموعة تجمّع لأشياء محددة تحديدًا تامًا، ويُعبر عنها بالسرد أو بالصفة المميزة أو بشكل فن.
أنواع المجموعات: منتهية، وغير منتهية، وخالية $\phi$ .
$B \subset A$ إذا كان كل عنصر في $B$ ينتمي إلى $A$ ، وعدد المجموعات الجزئية $2^n$ .
$A \cup B$ كل العناصر دون تكرار، و $A \cap B$ العناصر المشتركة فقط.
المجموعتان المنفصلتان تقاطعهما $\phi$ .

ملخص الدرس

المجموعة تجمّع لعناصر محددة لا تتكرر، ونعبر عنها بالسرد أو بالصفة المميزة أو بشكل فن، وقد تكون منتهية أو غير منتهية أو خالية. يربط الانتماء عنصرًا بمجموعة، ويربط الاحتواء مجموعة بمجموعة، ولمجموعة من $n$ عنصرًا $2^n$ مجموعة جزئية. ويجمع الاتحاد عناصر المجموعتين دون تكرار، ويعطي التقاطع العناصر المشتركة فقط.

أسئلة للتدريب

اكتب بطريقة السرد: $\{x : x \in N, x < 6\}$ .
اذكر مثالًا لمجموعة منتهية، وآخر لمجموعة غير منتهية، وثالثًا لمجموعة خالية.
إذا كانت $X = \{2, 9, 3, 5\}$ ، فأي المجموعتين جزئية من $X$ : $\{1, 5, 9\}$ أم $\{2, 3\}$ ؟
اكتب جميع المجموعات الجزئية للمجموعة $\{5, 7\}$ ، وتحقق من عددها بالقاعدة $2^n$ .
إذا كانت $A = \{2, 5, 8\}$ و $B = \{8, 9, 6\}$ ، فأوجد $A \cup B$ و $A \cap B$ ، ومثّلهما بشكل فن.
إذا كانت $B \subset A$ و $A = \{4, 2, 7\}$ و $B = \{7, 4\}$ ، فأوجد $A \cup B$ و $A \cap B$ .