أهداف التعلم

• أن يعرّف الطالب المستقيمين المتوازيين والمستقيم القاطع.
• أن يميز الطالب أنواع الزوايا الناتجة عن قطع مستقيمين متوازيين بقاطع.
• أن يستنتج الطالب العلاقات بين هذه الزوايا (تساوٍ أو تكامل).
• أن يستخدم الطالب هذه العلاقات لحساب قياسات زوايا مجهولة.
• أن يستدل الطالب على توازي مستقيمين من خلال قياسات الزوايا الناتجة عن قاطع.

شرح الدرس

المستقيمان المتوازيان والقاطع

المستقيمان المتوازيان هما مستقيمان يقعان في نفس المستوى ولا يتقاطعان مهما امتدا. المستقيم القاطع هو مستقيم يقطع مستقيمين (أو أكثر) في نقطتين مختلفتين، وينتج عن قطعه لمستقيمين متوازيين ثماني زوايا (أربع عند كل نقطة تقاطع).

أنواع الزوايا الناتجة عن القاطع

في الشكل: المستقيمان $L_1$ و$L_2$ متوازيان، والمستقيم $T$ قاطع لهما. الزوايا 1 و2 و3 و4 عند $L_1$، والزوايا 5 و6 و7 و8 عند $L_2$. والزوايا 3 و4 و5 و6 داخلية (بين المستقيمين)، والزوايا 1 و2 و7 و8 خارجية.

عند قطع مستقيم قاطع لمستقيمين، تُصنَّف أزواج الزوايا الناتجة كما يلي:

• الزوايا المتناظرة: كل زاويتين تقعان في نفس الموضع النسبي عند كل نقطة تقاطع، وهي في الشكل: (1، 5) و(2، 6) و(3، 7) و(4، 8).
• الزوايا المتبادلة الداخلية: زاويتان تقعان بين المستقيمين وعلى جانبين مختلفين من القاطع، وهي في الشكل: (3، 5) و(4، 6).
• الزوايا المتحالفة الداخلية: زاويتان تقعان بين المستقيمين وعلى نفس الجانب من القاطع، وهي في الشكل: (3، 6) و(4، 5).

العلاقات بين الزوايا عندما يكون المستقيمان متوازيين

إذا كان المستقيمان متوازيين، فإن العلاقات التالية تتحقق دائمًا بين الزوايا الناتجة عن القاطع:

• الزوايا المتناظرة متساوية في القياس.
• الزوايا المتبادلة الداخلية متساوية في القياس.
• الزوايا المتحالفة الداخلية متكاملة (مجموع قياسيهما $180°$).

هذه العلاقات الثلاث هي أساس حل جميع مسائل التوازي، وتُستخدم مع العلاقات المعروفة سابقًا (التقابل بالرأس، التكامل على خط مستقيم) لإيجاد أي زاوية مجهولة من الزوايا الثماني إذا عُلمت واحدة منها.

الشرط العكسي: إثبات توازي مستقيمين

تصح أيضًا العلاقة العكسية، وهي: إذا قطع مستقيم مستقيمين وكانت الزوايا المتناظرة متساوية (أو المتبادلة الداخلية متساوية، أو المتحالفة الداخلية متكاملة)، فإن المستقيمين متوازيان. وتُستخدم هذه الخاصية لإثبات أن مستقيمين معينين متوازيان دون الحاجة لامتدادهما فعليًا للتأكد من عدم تقاطعهما.

استراتيجية حل مسائل التوازي

لإيجاد زاوية مجهولة في شكل يحتوي على مستقيمين متوازيين وقاطع:

1. نحدد نوع العلاقة بين الزاوية المعلومة والزاوية المطلوبة (متناظرتان، متبادلتان داخليًا، متحالفتان داخليًا، أو متقابلتان بالرأس مع إحداهما).
2. نطبق العلاقة المناسبة (تساوٍ أو تكامل) مباشرة.
3. قد يتطلب الأمر خطوتين متتاليتين (مثل استخدام التقابل بالرأس أولًا ثم التناظر) للوصول إلى الزاوية المطلوبة.

أسئلة للتدريب

• مستقيمان متوازيان قطعهما قاطع، إحدى الزوايا المتبادلة داخليًا قياسها $55°$. أوجد قياس الزاوية المتبادلة لها.
• في السؤال السابق، أوجد قياس الزاوية المتحالفة الداخلية لزاوية الـ $55°$.
• مستقيمان قطعهما قاطع فكانت إحدى الزوايا المتناظرة $80°$ والأخرى $80°$ أيضًا. ماذا تستنتج عن المستقيمين؟ ولماذا؟
• مستقيمان متوازيان، زاويتان متحالفتان داخليًا قياس إحداهما ضعف قياس الأخرى. أوجد قياس كل منهما.
• وضح الفرق بين الزاويتين المتناظرتين والزاويتين المتبادلتين داخليًا برسم توضيحي وصفي.