ملخص الأشكال الرباعية — أولى إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 4: الهندسة والقياس

يمتلئ محيطنا بالأشكال الرباعية: صفحات الكتب مستطيلات، وبلاط الأرضيات قد يكون مربعات أو معينات، وبعض الطاولات على شكل شبه منحرف. يدرس هذا الدرس مجموع زوايا الشكل الرباعي، ثم خصائص أهم أنواعه والعلاقات بينها.

أهداف التعلم

أن يستنتج الطالب أن مجموع قياسات زوايا أي شكل رباعي محدب يساوي $360°$ .
أن يعدد الطالب خصائص متوازي الأضلاع في الأضلاع والزوايا والأقطار.
أن يميز الطالب المستطيل والمعين والمربع كحالات خاصة من متوازي الأضلاع.
أن يوضح الطالب خصائص شبه المنحرف.
أن يستخدم الطالب هذه الخصائص لحساب أطوال أضلاع أو قياسات زوايا مجهولة.

شرح الدرس

مجموع زوايا الشكل الرباعي

النظرية: مجموع قياسات الزوايا الداخلية الأربع لأي شكل رباعي محدب يساوي $360°$ :

m(\angle A)+m(\angle B)+m(\angle C)+m(\angle D) = 360°

ويمكن استنتاج هذه النظرية بتقسيم الشكل الرباعي إلى مثلثين برسم قطر واحد، فيكون مجموع زواياهما معًا $180°+180°=360°$ ، وهو نفسه مجموع زوايا الشكل الرباعي الأصلي.

متوازي الأضلاع

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان. من أهم خصائصه:

كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول.
كل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس.
كل زاويتين متجاورتين متكاملتان (مجموعهما $180°$ )، لأن الضلعين المتقابلين متوازيان والضلع الآخر قاطع لهما.
القطران ينصف كل منهما الآخر (نقطة تقاطعهما هي منتصف كل منهما).

المستطيل

المستطيل هو متوازي أضلاع فيه زاوية واحدة على الأقل قائمة (وبالتالي جميع زواياه قائمة). يتمتع بجميع خصائص متوازي الأضلاع، بالإضافة إلى أن قطريه متساويان في الطول.

المعين

المعين هو متوازي أضلاع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول. يتمتع بجميع خصائص متوازي الأضلاع، بالإضافة إلى أن قطريه متعامدان (يقطع كل منهما الآخر بزاوية قائمة)، وكل قطر فيه ينصف زاويتي الرأسين اللذين يمر بهما.

المربع

المربع هو شكل رباعي يجمع بين خصائص المستطيل والمعين معًا؛ فهو متوازي أضلاع جميع أضلاعه متساوية وجميع زواياه قائمة. لذلك تتحقق فيه جميع الخصائص السابقة: أضلاعه متساوية، زواياه قائمة، قطراه متساويان ومتعامدان وينصف كل منهما الآخر وينصف كل منهما زاويتي رأسيه.

شبه المنحرف

شبه المنحرف هو شكل رباعي فيه ضلعان متقابلان متوازيان فقط (يسميان القاعدتين)، والضلعان الآخران غير متوازيين (يسميان الساقين). في شبه المنحرف المتساوي الساقين، يكون الساقان متساويين في الطول، وتكون الزاويتان المجاورتان لكل قاعدة متساويتين، ويكون القطران متساويين في الطول.

مخطط شجري: المستطيل والمعين حالتان خاصتان من متوازي الأضلاع، والمربع يجمع خصائصهما، وشبه المنحرف فرع مستقل

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: شكل رباعي قياسات ثلاث من زواياه $80°, 95°, 100°$ . أوجد قياس الزاوية الرابعة.

الحل:

360° - (80°+95°+100°) = 360° - 275° = 85°

فقياس الزاوية الرابعة $85°$ .

مثال 2: في متوازي أضلاع $ABCD$ ، قياس الزاوية $A$ يساوي $70°$ . أوجد قياسات الزوايا $B, C, D$ .

الحل: الزاوية $C$ مقابلة لـ $A$ فتساويها: $m(\angle C) = 70°$ . الزاويتان $B, D$ متجاورتان لـ $A$ فتكونان متكاملتين معها:

m(\angle B) = m(\angle D) = 180° - 70° = 110°

مثال 3: معين $ABCD$ فيه $m(\angle A) = 50°$ . أوجد قياسات باقي زواياه.

الحل: المعين متوازي أضلاع، فالزاويتان المتقابلتان متساويتان، والمتجاورتان متكاملتان:

m(\angle C) = m(\angle A) = 50°

m(\angle B) = m(\angle D) = 180° - 50° = 130°

وللتحقق: $50° + 130° + 50° + 130° = 360°$ .

مثال 4: شبه منحرف $ABCD$ فيه $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$ ، و $m(\angle B) = 65°$ . أوجد $m(\angle A)$ .

الحل: الضلعان $\overline{AD}$ و $\overline{BC}$ متوازيان، و $\overline{AB}$ قاطع لهما، فالزاويتان $A$ و $B$ متحالفتان داخليًا ومتكاملتان:

m(\angle A) = 180° - 65° = 115°

المفاهيم الأساسية

مجموع زوايا أي شكل رباعي محدب $= 360°$ .
متوازي الأضلاع: أضلاع متقابلة متساوية ومتوازية، زوايا متقابلة متساوية، زوايا متجاورة متكاملة، الأقطار تتناصف.
المستطيل: متوازي أضلاع بزوايا قائمة وأقطار متساوية.
المعين: متوازي أضلاع بأضلاع متساوية وأقطار متعامدة تنصف زوايا الرؤوس.
المربع: يجمع خصائص المستطيل والمعين معًا.
شبه المنحرف: ضلعان متقابلان متوازيان فقط (القاعدتان).

ملخص الدرس

مجموع قياسات زوايا الشكل الرباعي المحدب $360°$ . متوازي الأضلاع أضلاعه المتقابلة متوازية ومتساوية، وزواياه المتقابلة متساوية، وقطراه ينصف كل منهما الآخر. المستطيل والمعين حالتان خاصتان منه: الأول قطراه متساويان، والثاني قطراه متعامدان، أما المربع فيجمع خصائصهما معًا. وفي شبه المنحرف ضلعان متقابلان فقط متوازيان.

أسئلة للتدريب

شكل رباعي قياسات زواياه الأربع بنسبة $2:3:3:4$ . أوجد قياس كل زاوية (تلميح: مجموعها $360°$ ).
في مستطيل، أوجد طول القطر إذا كان طولا ضلعيه المتجاورين 6 سم و 8 سم.
في متوازي أضلاع، إحدى زواياه $110°$ ، أوجد قياسات الزوايا الثلاث الأخرى.
عدد خاصيتين مشتركتين بين المستطيل والمعين، وخاصية واحدة تميز كل شكل عن الآخر.
شبه منحرف متساوي الساقين إحدى زوايا قاعدته $65°$ ، أوجد قياس الزاوية الأخرى المجاورة لنفس القاعدة.