ملخص أنواع الزوايا والعلاقات بين الزوايا — أولى إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 4: الهندسة والقياس

تحيط بنا الزوايا في كل مكان: عقارب الساعة، وتقاطع الشوارع، وأركان الغرف. في هذا الدرس نصنف الزوايا حسب قياسها، ونتعرف على علاقات تربط بين زوجين من الزوايا تساعدنا على حساب قياس زاوية مجهولة دون استخدام المنقلة.

أهداف التعلم

أن يعرّف الطالب الزاوية ووحدات قياسها (الدرجة والدقيقة والثانية).
أن يصنف الطالب الزوايا حسب قياسها إلى حادة وقائمة ومنفرجة ومستقيمة ومنعكسة.
أن يميز الطالب بين الزاويتين المتجاورتين والمتتامتين والمتكاملتين.
أن يستنتج الطالب أن الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية في القياس.
أن يستنتج الطالب أن مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول نقطة يساوي $360°$ .
أن يحسب الطالب قياس زاوية مجهولة باستخدام العلاقات بين الزوايا.

شرح الدرس

مفهوم الزاوية ووحدات قياسها

الزاوية اتحاد شعاعين لهما نقطة البداية نفسها؛ تسمى نقطة البداية رأس الزاوية، ويسمى كل شعاع ضلع الزاوية. فالزاوية التي رأسها $B$ وضلعاها $\overrightarrow{BA}$ و $\overrightarrow{BC}$ تُكتب $\angle ABC$ أو $\angle CBA$ أو $\angle B$ ، ويكون الحرف الأوسط دائمًا هو الرأس.

وحدات قياس الزاوية هي الدرجة والدقيقة والثانية:

1° = 60' \qquad 1' = 60''

فالزاوية $35°\, 30'$ تعني 35 درجة ونصف درجة.

أنواع الزوايا حسب القياس

رسوم للزاوية الحادة والقائمة والمنفرجة والمستقيمة والمنعكسة مع مدى قياس كل منها

تُصنَّف الزاوية حسب قياسها إلى الأنواع التالية:

الزاوية الحادة: قياسها أكبر من $0°$ وأصغر من $90°$ .
الزاوية القائمة: قياسها يساوي $90°$ بالضبط.
الزاوية المنفرجة: قياسها أكبر من $90°$ وأصغر من $180°$ .
الزاوية المستقيمة: قياسها يساوي $180°$ بالضبط (تمثل خطًا مستقيمًا).
الزاوية المنعكسة: قياسها أكبر من $180°$ وأصغر من $360°$ .

الزوايا المتتامة (المتممة)

تكون زاويتان متتامتين إذا كان مجموع قياسيهما يساوي $90°$ :

m(\angle A) + m(\angle B) = 90°

وتُسمى كل منهما متممة الأخرى. فمثلًا زاوية قياسها $35°$ متممتها زاوية قياسها $90° - 35° = 55°$ .

الزوايا المتكاملة

تكون زاويتان متكاملتين إذا كان مجموع قياسيهما يساوي $180°$ :

m(\angle A) + m(\angle B) = 180°

وتُسمى كل منهما مكمّلة الأخرى. فمثلًا زاوية قياسها $110°$ مكمّلتها زاوية قياسها $180° - 110° = 70°$ .

الزوايا المتجاورة

الزاويتان المتجاورتان هما زاويتان تشتركان في الرأس وفي ضلع واحد، ولا يوجد تداخل بين المنطقتين الداخليتين لهما (كل منطقة داخلية للزاويتين منفصلة عن الأخرى باستثناء الضلع المشترك). وكثيرًا ما تكون الزاويتان المتجاورتان متكاملتين إذا كان ضلعاهما الخارجيان يكوّنان معًا خطًا مستقيمًا واحدًا.

الزوايا المتقابلة بالرأس

عند تقاطع مستقيمين، تتكوّن أربع زوايا حول نقطة التقاطع. الزاويتان المتقابلتان بالرأس هما كل زاويتين متقابلتين من هذه الزوايا الأربع (لا تشتركان في أي ضلع، وتشتركان فقط في الرأس). النظرية: الزاويتان المتقابلتان بالرأس متساويتان دائمًا في القياس. ويمكن إثبات ذلك كما يلي: إذا كانت $\angle 1$ و $\angle 3$ متقابلتين بالرأس، وكانت $\angle 2$ مجاورة لكل منهما على خط مستقيم، فإن $m(\angle 1) + m(\angle 2) = 180°$ و $m(\angle 3) + m(\angle 2) = 180°$ ، ومنه $m(\angle 1) = m(\angle 3)$ .

الزوايا المتجمعة حول نقطة

مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول نقطة يساوي $360°$ . فإذا تجمعت حول نقطة الزوايا $120°$ و $120°$ و $x$ ، فإن $x = 360° - 240° = 120°$ .

تطبيق العلاقات في حل المسائل

عند تقاطع مستقيمين أو عند وجود زوايا متجاورة على خط مستقيم، يمكن استخدام هذه العلاقات (التتام، التكامل، تساوي المتقابلتين بالرأس) لكتابة معادلات بسيطة وإيجاد قياسات الزوايا المجهولة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: زاوية قياسها $42°$ ، أوجد قياس متممتها وقياس مكمّلتها.

الحل:

المتممة: $90° - 42° = 48°$
المكمّلة: $180° - 42° = 138°$

مثال 2: زاويتان متتامتان، قياس إحداهما ضعف قياس الأخرى. أوجد قياس كل منهما.

الحل: لتكن الزاوية الأصغر قياسها $x$ ، فالأخرى قياسها $2x$ :

x + 2x = 90°

3x = 90° \Longrightarrow x = 30°

إذن قياس الزاويتين هو $30°$ و $60°$ .

مثال 3: عند تقاطع مستقيمين، كانت إحدى الزوايا الناتجة قياسها $65°$ . أوجد قياسات الزوايا الثلاث الأخرى.

الحل: الزاوية المقابلة لها بالرأس تساويها $= 65°$ . أما الزاويتان المتجاورتان لها (وهما متكاملتان معها لأنهما تقعان على خط مستقيم):

180° - 65° = 115°

إذن قياسات الزوايا الأربع هي: $65°, 115°, 65°, 115°$ بالترتيب حول نقطة التقاطع.

مثال 4: ثلاث زوايا متجاورة تقع على خط مستقيم، قياساتها $x°$ و $2x°$ و $60°$ . أوجد قيمة $x$ .

الحل: مجموع قياسات الزوايا المتجاورة على خط مستقيم يساوي $180°$ :

x + 2x + 60 = 180 \Longrightarrow 3x = 120 \Longrightarrow x = 40

إذن القياسات هي $40°$ و $80°$ و $60°$ .

مثال 5: ثلاث زوايا متجمعة حول نقطة، قياساتها $150°$ و $95°$ و $x$ . أوجد $x$ .